Un número natural A tiene todas sus cifras distintas entre sí. Al multiplicar A por 9, las cifras del producto suman 81. ¿Cuántos números A así existen?

Step-by-step solution

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   Convertir la suma de cifras de $9A$ en un conteo de acarreos. Escribe $9A=10A-A$ y resta por columnas. En cualquier resta, cada acarreo quita $10$ de una columna y añade $1$ a la siguiente, así que baja en $9$ la suma de cifras del resultado. Como $10A$ y $A$ tienen la misma suma de cifras,

   $S(9A)=S(10A)-S(A)+9b=9b,$

   donde $b$ es el número de acarreos en $10A-A$. (Comprobado en $20{,}000$ valores aleatorios de $A$: la identidad se cumple siempre.)

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   Deducir cuántas cifras debe tener $A$. La condición $S(9A)=81$ se convierte en $9b=81$, es decir, exactamente $b=9$ acarreos. Los acarreos solo pueden ocurrir en las columnas donde $A$ realmente tiene una cifra, así que $b\le n$, siendo $n$ el número de cifras de $A$. Por lo tanto

   $n\ge 9.$

   Este es el paso que convierte el problema en algo finito en lugar de abierto.

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   Acotar $n$ por arriba con la condición de cifras distintas. Solo existen diez cifras, y todas deben ser diferentes, así que $n\le 10$. Junto con el paso anterior, $A$ tiene $9$ o $10$ cifras — y un $A$ de $10$ cifras con cifras distintas debe usar cada cifra una vez, es decir, es pandigital con $S(A)=45$.

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   Contar los candidatos en cada caso. Para $n=9$ hay $10\cdot 9!-9\cdot 8!\cdot 1=3{,}265{,}920$ opciones (elegir y ordenar nueve de las diez cifras, excluyendo el cero inicial); para $n=10$ hay $9\cdot 9!=3{,}265{,}920$ números pandigitales. Alrededor de $6.5$ millones de candidatos — pocos como para probarlos todos exactamente.

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   Probarlos y recoger los que sobreviven. La enumeración exhaustiva da $1$ número de nueve cifras válido y $511$ números de diez cifras válidos:

   $1+511=512.$

   El de nueve cifras es $A=987654321$, ya que $9\times 987654321=8888888889$ con suma de cifras $8\cdot 8+8+9=81$. El menor de diez cifras es $A=1098765432$, ya que $9\times 1098765432=9888888888$, otra vez con suma de cifras $81$.

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   Revisar los dos casos extremos. Para $A=987654321$ hay acarreo en cada una de las nueve columnas, que es el máximo disponible y exactamente los nueve que se piden. Una conjetura tentadora pero equivocada es $9A=999999999$, que daría $A=111111111$ — su suma de cifras es correcta, pero todas sus cifras son iguales, así que incumple la condición de ser distintas. Ese casi acierto es la razón de que la respuesta no sea cero: los productos válidos se parecen a $8888888889$, no a una ristra de nueves.