Hallar el mayor número capicúa de seis cifras que sea divisible entre 15.

Step-by-step solution

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   Escribir la forma de un capicúa de seis cifras. Cualquier número así tiene el aspecto

   $\overline{abccba}$

   con cifras $a,b,c$ y $a\neq 0$. Tres cifras libres en lugar de seis: eso solo ya reduce la búsqueda de $900{,}000$ números a $900$.

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   Separar la condición de divisibilidad. Como $15=3\times 5$ y $\gcd(3,5)=1$, un número es divisible entre $15$ exactamente cuando lo es entre $3$ y entre $5$. Tratar los dos factores primos por separado es lo que hace abordable el problema a mano.

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   Usar el criterio del 5 para fijar la primera cifra. La divisibilidad entre $5$ exige que la última cifra sea $0$ o $5$. En un capicúa la última cifra coincide con la primera, y un número de seis cifras no puede empezar por $0$, así que

   $a=5$

   y el número tiene la forma $\overline{5bccb5}$. Por tanto todo candidato empieza en los quinientos mil: ningún capicúa múltiplo de $15$ puede empezar por $6$ o más.

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   Aplicar el criterio del 3 a la suma de las cifras. Las cifras suman

   $5+b+c+c+b+5=10+2b+2c$

   Esto debe ser divisible entre $3$. Trabajando módulo $3$, $10+2b+2c\equiv 1+2(b+c)\equiv 0$, lo que obliga a

   $b+c\equiv 1 \pmod 3$

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   Maximizar las cifras empezando por la izquierda. Las cifras de la izquierda pesan más, así que se prueba primero $b=9$. Entonces $c$ debe cumplir $9+c\equiv 1\pmod 3$, es decir $c\equiv 1\pmod 3$, de modo que $c\in\{1,4,7\}$ y el mayor es $c=7$. Esto explica también por qué falla el tentador $599995$: sus cifras suman $46$, que no es múltiplo de $3$.

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   Montar el número y verificar. Con $a=5$, $b=9$, $c=7$ el número es

   $597795$

   Comprobación: termina en $5$, así que es divisible entre $5$; sus cifras suman $5+9+7+7+9+5=42$, divisible entre $3$; y en efecto

   $597795=15\times 39853$

   Como $b=9$ es la mayor segunda cifra posible y $c=7$ la mayor tercera cifra admisible, no existe ningún capicúa de seis cifras mayor que cumpla la condición.