Las cifras de un número de cuatro cifras múltiplo de 5 se escriben en orden inverso y se obtiene otro número de cuatro cifras. Al restar el segundo número del primero se obtiene 1458. Hallar uno de esos números originales.

Step-by-step solution

1. 1

   Escribir ambos números en forma desarrollada según el valor posicional. Sean $a,b,c,d$ las cifras, de modo que el número original es

   $N=1000a+100b+10c+d,\qquad a\neq 0$

   y el número invertido es

   $N'=1000d+100c+10b+a$

   Traducir a aritmética el enunciado sobre cifras es todo el truco; lo que viene después es rutina.

2. 2

   Fijar la última cifra usando las dos condiciones. La divisibilidad entre $5$ deja $d\in\{0,5\}$. Pero el número invertido también debe tener cuatro cifras, así que su primera cifra $d$ no puede ser $0$. Por tanto

   $d=5$

   Este es el paso que decide el problema: con $d=0$ la inversión se reduciría a tres cifras como mucho.

3. 3

   Restar y simplificar.

   $N-N'=1000a+100b+10c+5-(5000+100c+10b+a)$

   $=999a+90b-90c-4995$

   Igualando esto a $1458$ y pasando la constante al otro lado:

   $999a+90(b-c)=1458+4995=6453$

4. 4

   Recorrer la única cifra $a$, permitiendo que $b-c$ sea negativo. El término $90(b-c)$ puede ir de $-810$ a $810$, así que $999a$ debe quedar a menos de $810$ de $6453$: solo sirve $a=7$ ($999\cdot 7=6993$, mientras que a $999\cdot 6=5994$ le faltan $459$, que no es múltiplo de $90$). Con $a=7$:

   $6993+90(b-c)=6453\quad\Longrightarrow\quad 90(b-c)=-540\quad\Longrightarrow\quad b-c=-6$

   Nótese que aquí $b-c$ es negativo. Probar solo diferencias no negativas es la trampa que hace parecer irresoluble este problema.

5. 5

   Listar los números y elegir uno. Las cifras con $b-c=-6$ son $(b,c)\in\{(0,6),(1,7),(2,8),(3,9)\}$, lo que da

   $7065,\quad 7175,\quad 7285,\quad 7395$

   Cualquiera de ellos responde a la pregunta; el menor es

   $\boxed{7065}$

6. 6

   Verificar. $7065$ termina en $5$, así que es divisible entre $5$. Al invertirlo se obtiene el número de cuatro cifras $5607$, y

   $7065-5607=1458$

   como se pedía. El mismo método con $1359$ en el lado derecho da $999a+90(b-c)=6354$, es decir, $a=6$ y $b-c=4$, cuya solución menor es $6405$.