Halla un número de cuatro cifras que sea múltiplo de 12 y cuyo producto de dígitos sea mayor que 25 pero menor que 30. Da cualquiera de esos números.

Step-by-step solution

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   Reducir el producto de las cifras a los valores posibles. El producto tiene que ser $26$, $27$, $28$ o $29$. Prueba cada uno como producto de cuatro cifras del $1$ al $9$ (una cifra igual a cero forzaría el producto a $0$):

   $26=2\times 13\ \text{— hace falta un factor }13,\ \text{imposible}$

   $29\ \text{es primo y}>9,\ \text{imposible}$

   $27=3^3=1\times 3\times 3\times 3\ \text{— posible en principio}$

   $28=2^2\times 7=1\times 2\times 2\times 7\ \text{o}\ 1\times 1\times 4\times 7\ \text{— posible}$

2. 2

   Recordar qué exige la divisibilidad entre 12. Como $12=4\times 3$ con $\gcd(4,3)=1$, el número debe ser divisible entre ambos:

   $\text{las dos últimas cifras forman un múltiplo de }4,\qquad \text{la suma de las cifras es múltiplo de }3$

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   Descartar el producto de cifras 27. Su único multiconjunto de cifras es $\{1,3,3,3\}$, cuya suma es $10$ — no es múltiplo de $3$, así que ninguna disposición es divisible entre $3$, y mucho menos entre $12$. Queda el producto $28$.

4. 4

   Tratar los multiconjuntos de cifras que dan 28. Para $\{1,2,2,7\}$ la suma de cifras es $12$, múltiplo de $3$ $\checkmark$, así que solo falta la condición de divisibilidad entre $4$. Para $\{1,1,4,7\}$ la suma es $13$, que no es múltiplo de $3$, así que ese multiconjunto queda descartado. Al ordenar $1,2,2,7$ de modo que las dos últimas cifras formen un múltiplo de $4$ (es decir, $12$ o $72$) se obtiene la lista completa:

   $1272,\quad 2172,\quad 2712,\quad 7212$

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   Verificar una respuesta por completo. Tomemos $N=1272$:

   $1272\div 12=106\quad\checkmark$

   $1\times 2\times 7\times 2=28,\qquad 25<28<30\quad\checkmark$

   Una búsqueda exhaustiva sobre todos los múltiplos de $12$ de cuatro cifras confirma que esos cuatro números son las únicas soluciones, así que se puede dar cualquiera de ellos como respuesta.