Un número de tres cifras tiene sus tres cifras distintas. Al invertir el orden de las cifras se obtiene un segundo número, y al restarlo del original resulta 396. Hallar el menor número con esa propiedad.

Step-by-step solution

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   Plantear la resta en forma desarrollada. Con cifras $a$, $b$, $c$:

   $(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a-c)$

   La cifra de las decenas se cancela, así que la diferencia depende únicamente de la primera y la última cifra.

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   Convertir la diferencia dada en una condición sobre las cifras.

   $99(a-c)=396\ \Longrightarrow\ a-c=4$

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   Minimizar empezando por la cifra más significativa. Para que el número sea lo más pequeño posible, primero hay que hacer $a$ lo más pequeño posible. Como $a=c+4$ y $c\ge 0$, la menor elección permitida es

   $c=0,\qquad a=4$

   Cualquier $a$ menor obligaría a una última cifra negativa.

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   Elegir la menor cifra de las decenas que mantenga todas las cifras distintas. Las cifras $4$ y $0$ ya están tomadas, así que $b$ no puede ser $4$ ni $0$. La siguiente cifra disponible más pequeña es

   $b=1\ \Longrightarrow\ N=410$

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   Verificar la resta. Invertir $410$ da la cadena de cifras $014$, es decir el número $14$:

   $410-14=396\quad\checkmark$

   Las cifras $4$, $1$, $0$ son todas distintas $\checkmark$. Conviene comparar esto con la versión mayor del mismo acertijo, donde maximizar en lugar de minimizar lleva a $985$ — el motor compartido en ambos casos es $a-c=4$.