Halla todas las soluciones enteras de 399x + 188y = 3570.

Step-by-step solution

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   Comprueba con el m.c.d. que hay solución. Existen soluciones enteras si y solo si $\gcd(399,188)$ divide a $3570$. Algoritmo de Euclides:

   $399=2\cdot188+23,\quad 188=8\cdot23+4,\quad 23=5\cdot4+3,\quad 4=1\cdot3+1,\quad 3=3\cdot1+0$

   así que $\gcd(399,188)=1$, que divide a todo. Hay soluciones.

2. 2

   Reduce a una congruencia. Trabajar módulo $188$ elimina el término en $y$:

   $399x\equiv3570\pmod{188}$

   Reduciendo ambos coeficientes: $399-2(188)=23$ y $3570-18(188)=3570-3384=186$, así que

   $23x\equiv186\pmod{188}$

3. 3

   Halla el inverso modular de 23 por sustitución hacia atrás. Recorriendo al revés los pasos de Euclides:

   $1=4-3=4-(23-5\cdot4)=6\cdot4-23=6(188-8\cdot23)-23=6\cdot188-49\cdot23$

   Por lo tanto $-49\cdot23\equiv1\pmod{188}$, así que el inverso es $-49\equiv139\pmod{188}$. Comprobación: $23\times139=3197=17\times188+1$ ✓.

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   Multiplica y haz con cuidado la reducción final.

   $x\equiv186\times139=25854\pmod{188}$

   Ahora bien, $188\times137=25756$ y $25854-25756=98$, así que

   $x\equiv98\pmod{188}$

   Este es el paso donde se cuelan los errores: a veces se cita aquí un valor de $18$, pero $188\times137=25756$ deja resto $98$, no $18$.

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   Corrige una respuesta errónea muy repetida. El par $(x,y)=(18,-19)$ se da a menudo como solución particular, pero al sustituir queda

   $399(18)+188(-19)=7182-3572=3610\neq3570$

   Se desvía en $40$. La solución particular auténtica, a partir de $x=98$, es

   $188y=3570-399(98)=3570-39102=-35532\quad\Longrightarrow\quad y=-189$

   y $399(98)+188(-189)=39102-35532=3570$ ✓.

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   Escribe la solución general. Sumar $188$ a $x$ y restar $399$ a $y$ deja el lado izquierdo intacto, ya que $399\cdot188-188\cdot399=0$:

   $x=98+188k,\qquad y=-189-399k,\qquad k\in\mathbb{Z}$

   Para $k=-1$ esto da $(-90,210)$; para $k=-2$, $(-278,609)$.

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   Observa que no hay soluciones en enteros positivos y verifica. De la forma general, $x>0$ exige $k\ge0$, pero entonces $y=-189-399k\le-189<0$. Así que $x$ e $y$ nunca pueden ser ambos positivos. Al recorrer todos los $x$ de $1$ a $199$, ninguno hace que $\tfrac{3570-399x}{188}$ sea un entero positivo ✓, y se confirmó que la fórmula general da exactamente $3570$ para todos los $k$ de $-6$ a $6$ ✓.