Calculadora de división sintética

La división sintética es un atajo para dividir un polinomio $p(x)$ entre un factor lineal $x - k$. Es más rápida que la división larga y produce el mismo cociente y resto, solo que escribiendo menos.

Dado $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ dividido entre $x - k$, la división sintética produce:

$p(x) = (x - k) q(x) + r$

donde $q(x)$ es el cociente (grado $n - 1$) y $r$ es el resto constante.

Usos clave:

1. División rápida de polinomios cuando el divisor es un lineal $x - k$.
2. Evaluar $p(k)$: por el Teorema del resto, $p(k) = r$, así que el resto es exactamente el valor de la función.
3. Factorizar polinomios: si $r = 0$, entonces $(x - k)$ es un factor y $q(x)$ te da el cofactor.
4. Hallar raíces racionales combinada con el Teorema de la raíz racional.

Preparación

Para dividir $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ entre $x - k$:

1. Escribe el cero del divisor $k$ a la izquierda.
2. Lista los coeficientes de $p(x)$ a la derecha, incluyendo ceros para cualquier término ausente.

Algoritmo

1. Baja el primer coeficiente ($a_n$) sin cambios.
2. Multiplica por $k$ y escribe el resultado debajo del siguiente coeficiente ($a_{n-1}$).
3. Suma la columna. Escribe la suma en la fila inferior.
4. Repite: multiplica esa suma por $k$, escribe debajo del siguiente coeficiente, suma.
5. Continúa hasta terminar todos los coeficientes.

Lectura del resultado

La fila inferior contiene:

• Las primeras $n$ entradas: coeficientes del cociente $q(x)$ (en orden descendente de grado).
• La última entrada: el resto $r$.

Ejemplo: $(x^3 - 4x + 5) \div (x - 2)$

Coeficientes de $x^3 + 0x^2 - 4x + 5$: $[1, 0, -4, 5]$. Cero del divisor: $k = 2$.

 2 |  1   0  -4   5
   |      2   4   0
   |________________
      1   2   0   5

Cociente: $x^2 + 2x + 0 = x^2 + 2x$. Resto: $5$.

Así $x^3 - 4x + 5 = (x - 2)(x^2 + 2x) + 5$.

Conexión con el Teorema del resto

El resto $r$ en $p(x) = (x - k)q(x) + r$ es igual a $p(k)$. Poniendo $x = k$:

$p(k) = (k - k) q(k) + r = r$

Así, la división sintética es una forma rápida de evaluar $p(k)$ sin sustituir.

Teorema del factor

Un corolario: $(x - k)$ es un factor de $p(x)$ si y solo si $p(k) = 0$ si y solo si el resto de la división sintética es $0$.

• Olvidar los ceros de relleno: Para $p(x) = x^3 - 4x + 5$, debes incluir un $0$ para el término $x^2$ ausente. De lo contrario, las columnas se desalinean.
• Error de signo en $k$: Para dividir entre $x - 2$, usa $k = 2$ (el cero del divisor). Para dividir entre $x + 3$, usa $k = -3$.
• No se puede usar directamente con divisores $ax - k$: La división sintética tal como se enseña funciona para $x - k$ (coeficiente principal 1). Para $ax - k$, saca primero $a$ o usa la división larga de polinomios.
• Olvidar bajar el primer coeficiente: El primer paso siempre es 'bajar $a_n$': aún no multipliques nada.
• Leer mal el cociente: Las primeras $n$ entradas de la fila inferior son coeficientes, y el grado baja en 1. Un polinomio de grado 4 dividido entre $x - k$ da un cociente de grado 3.