Halla la suma 0.000061 + 0.000061(1.25) + 0.000061(1.25)² + ... + 0.000061(1.25)⁹.

Step-by-step solution

1. 1

   Reconoce la estructura. Cada término es el anterior multiplicado por $1.25$, así que se trata de una serie geométrica. Leyendo sus parámetros: primer término $a=0.000061$, razón $r=1.25$ y — contando los exponentes de $0$ a $9$ — exactamente $n=10$ términos. Contar $n$ como $9$ es la trampa habitual.

2. 2

   Saca factor común el primer término.

   $0.000061\left(1+1.25+1.25^{2}+\cdots+1.25^{9}\right)$

   Esto deja una serie limpia con primer término $1$, así que la fórmula solo hace falta para el paréntesis.

3. 3

   Aplica la fórmula de la suma geométrica finita. Para $r\neq1$,

   $S_{n}=\frac{r^{n}-1}{r-1}=\frac{1.25^{10}-1}{1.25-1}=\frac{1.25^{10}-1}{0.25}=4\left(1.25^{10}-1\right)$

   Dividir entre $0.25$ es lo mismo que multiplicar por $4$ — una simplificación útil que mantiene exacta la aritmética.

4. 4

   Evalúa la potencia. Como $1.25=\tfrac54$,

   $1.25^{10}=\frac{5^{10}}{4^{10}}=\frac{9\,765\,625}{1\,048\,576}=9.313225746\ldots$

   así que el paréntesis vale $4(9.313225746-1)=4(8.313225746)=33.252902984$.

5. 5

   Multiplica por el primer término, con cuidado.

   $0.000061\times33.252902984=0.0020284271$

   Llevando todo el cálculo con fracciones exactas se obtiene $\dfrac{531\,739\,989}{262\,144\,000\,000}=0.00202842708\ldots$ ✓, lo que confirma el decimal. Fíjate en que la respuesta es $0.0020284$ y no $0.0020289$: un desliz en la cuarta cifra significativa es fácil aquí y cambia el resultado en un $0.025\%$ aproximadamente.

6. 6

   Comprueba el orden de magnitud. Diez términos que valen en promedio unos $0.0002$ cada uno deberían sumar alrededor de $0.002$ ✓. El factor de crecimiento también cuadra: el último término es $0.000061\times1.25^{9}\approx0.000455$, unas $7.5$ veces el primero — coherente con una razón mayor que $1$ compuesta nueve veces.