Resolver (1 + x) elevado a la 12 menos 11.0528x igual a 1.

Step-by-step solution

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   Reescribirlo como un problema de búsqueda de raíces. Se pasa el $1$ a la izquierda y se define $f(x)=(1+x)^{12}-11.0528x-1,$ de modo que hace falta $f(x)=0$. Esta es la forma de una ecuación de anualidad o de TIR: un factor de acumulación a lo largo de $12$ periodos enfrentado a $11.0528$ veces la tasa.

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   Detectar la raíz trivial. $f(0)=1^{12}-0-1=0$, así que $x=0$ es una solución exacta. Es el caso degenerado de "interés cero", así que cabe esperar una segunda raíz con sentido económico.

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   Localizar el punto crítico antes de salir a buscar la segunda raíz. $f'(x)=12(1+x)^{11}-11.0528$, que se anula cuando $(1+x)^{11}=\tfrac{11.0528}{12}=0.921067$, es decir $x=0.921067^{1/11}-1\approx-0.0074469$. Como $f'$ es creciente en $x$, este es el único mínimo, con $f(-0.0074469)\approx-0.0034829<0$.

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   Concluir que hay exactamente dos raíces reales y acotar la otra. $f$ baja desde $f(-1)=10.0528$ hasta el mínimo y después vuelve a subir hasta $f(0)=0$, así que hay una raíz a la izquierda del mínimo. Probando: $f(-0.02)=+0.0057727$ y $f(-0.01)=-0.0030871$, así que la raíz está en $(-0.02,-0.01)$.

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   Bisecar hasta la precisión completa. Partir el intervalo por la mitad de forma repetida da $x \approx -0.01508489,$ donde $f(x)$ es cero con un error menor que $10^{-16}$. Cuidado con detenerse cerca de $x\approx-0.00745$: ese es el mínimo, donde $f=-0.0035\ne0$.

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   Verificar e interpretar. $(1-0.01508489)^{12}=0.8332697$ y $-11.0528(-0.01508489)=0.1667303$; su suma es $1.000000$, que coincide con el lado derecho. Las dos soluciones reales son $x=0$ y $x\approx-1.5085\%$ por periodo; no hay solución con tasa positiva, porque $f>0$ para todo $x>0$.