Calculadora para completar el cuadrado

Completar el cuadrado es la técnica algebraica de reescribir una cuadrática $ax^2 + bx + c$ como:

$a(x - h)^2 + k$

donde $(h, k)$ es el vértice de la parábola.

Por qué es importante:

• Revela el vértice (punto mínimo/máximo) de una parábola de un vistazo.
• Permite resolver cualquier ecuación cuadrática sin la fórmula cuadrática.
• Es la técnica subyacente que deduce la fórmula cuadrática.
• Se usa para evaluar $\int \frac{1}{x^2 + bx + c}\,dx$ en cálculo (se reduce a arcotangente).
• Es esencial para comprender las integrales gaussianas y muchos temas de física.

La identidad central que lo hace funcionar:

$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2$

Caso 1: El coeficiente principal es 1

Para $x^2 + bx + c$:

1. Toma la mitad de $b$ y elévala al cuadrado: $(b/2)^2$.
2. Suma y resta esta cantidad: $x^2 + bx + (b/2)^2 - (b/2)^2 + c$.
3. Agrupa el cuadrado perfecto: $(x + b/2)^2 + c - (b/2)^2$.

Ejemplo: $x^2 + 6x + 5$

• La mitad de 6 es 3. Al cuadrado: 9.
• $x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$

Forma de vértice: $(x + 3)^2 - 4$, vértice en $(-3, -4)$.

Caso 2: El coeficiente principal no es 1

Para $ax^2 + bx + c$, $a \neq 1$:

1. Factoriza $a$ de los dos primeros términos: $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c$.
2. Completa el cuadrado dentro del paréntesis: la mitad de $b/a$ es $b/(2a)$, al cuadrado es $b^2/(4a^2)$.
3. Suma y resta dentro: $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c$.
4. Simplifica: $a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$.

Observa que al 'deshacer' el término añadido, multiplicas por $a$, ya que el interior está multiplicado por $a$.

Resolver una ecuación cuadrática

Para $ax^2 + bx + c = 0$:

1. Completa el cuadrado para obtener $a(x - h)^2 + k = 0$.
2. Aísla el término al cuadrado: $(x - h)^2 = -k/a$.
3. Toma raíces cuadradas: $x - h = \pm\sqrt{-k/a}$.
4. Resuelve: $x = h \pm \sqrt{-k/a}$.

Esto es esencialmente lo que hace la fórmula cuadrática en una sola expresión compacta.

• Olvidar equilibrar: Cuando sumas $(b/2)^2$, también debes restarlo. De lo contrario, has cambiado la expresión.
• Manejo incorrecto del coeficiente: Si $a \neq 1$, debes factorizar $a$ de los dos primeros términos antes de completar el cuadrado, y luego multiplicar tu corrección por $a$ al distribuir de vuelta.
• Errores de signo con $\pm$: Tras tomar raíces cuadradas, hay que conservar ambas ramas. Descartar el $\pm$ pierde una solución.
• Mitad de $b$ frente a $b/2a$: Cuando el coeficiente principal es 1, toma la mitad de $b$. Cuando no lo es, factoriza primero y luego toma la mitad del nuevo coeficiente.
• Olvidar simplificar la constante: Tras completar el cuadrado, combina las constantes restantes en un único $k$.