Evalúa 32² − 28².

Step-by-step solution

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   Detecta el patrón antes de tomar la calculadora. La expresión es literalmente un cuadrado menos otro, es decir, el lado izquierdo de la identidad

   $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$

   Aquí $a=32$ y $b=28$. Usar la identidad reemplaza dos elevaciones al cuadrado ($1024$ y $784$) por una resta, una suma y un producto fácil.

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   Calcula los dos factores.

   $a-b=32-28=4,\qquad a+b=32+28=60$

   La diferencia es pequeña porque los dos números están cerca entre sí, que es justo cuando este atajo rinde más.

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   Multiplica.

   $32^{2}-28^{2}=4\times60=240$

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   Verifica por la vía larga. $32^{2}=1024$ y $28^{2}=784$, así que $1024-784=240$ ✓. Las dos rutas quedaron confirmadas con aritmética entera exacta, de modo que no hay redondeo del que preocuparse.

5. 5

   Observa cuándo se generaliza el atajo. Cualquier diferencia de cuadrados $a^{2}-b^{2}$ con $a,b$ de la misma paridad da un $a-b$ par —aquí $4\times60$, un producto fácil de hacer mentalmente—. El mismo truco convierte $101^{2}-99^{2}$ en $2\times200=400$ al instante, mientras que la vía directa exige dos cuadrados de cuatro cifras.