Estadística descriptiva

Media (poblacional)

$\mu = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i$

Promedio de todos los valores de la población.

Media (muestral)

$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$

Promedio de la muestra.

Varianza (poblacional)

$\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum (x_i - \mu)^2$

Dispersión al cuadrado, divide entre N.

Varianza (muestral)

$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum (x_i - \bar{x})^2$

Corrección de Bessel: divide entre $n-1$ .

Desviación estándar

$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$

Raíz cuadrada de la varianza: mismas unidades que los datos.

Rango

$R = x_{\max} - x_{\min}$

La medida de dispersión más simple.

Reglas de probabilidad

Regla de la suma

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Probabilidad de A o B (inclusión-exclusión).

Regla de la multiplicación

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$

Probabilidad de A y B; se reduce al producto cuando son independientes.

Probabilidad condicional

$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

Probabilidad de B dado que ocurrió A.

Teorema de Bayes

$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)}$

Invierte probabilidades condicionales: pruebas diagnósticas, aprendizaje automático.

Independencia

$P(A \cap B) = P(A) P(B)$

Se cumple si y solo si $A$ y $B$ son independientes.

Conteo

Permutaciones

$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$

El orden importa: ordenar $r$ de $n$ .

Combinaciones

$C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

El orden no importa: elegir $r$ de $n$ .

Distribuciones discretas

FMP binomial

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

$k$ éxitos en $n$ ensayos independientes con probabilidad de éxito $p$ .

Media binomial

$\mu = np$

Número esperado de éxitos.

Varianza binomial

$\sigma^2 = np(1-p)$

Dispersión de la binomial.

FMP de Poisson

$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$

Recuento de eventos raros con tasa media $\lambda$ .

Distribución normal

FDP

$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\bigl(-\tfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\bigr)$

Curva de campana, media $\mu$ , desviación $\sigma$ .

Puntuación Z

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

Estandariza para comparar entre distribuciones.

Normal estándar

$Z \sim N(0, 1)$

Tras la transformación de puntuación Z.

Regla 68-95-99.7

$P(|X - \mu| < k\sigma):\ 0.68,\ 0.95,\ 0.997$

Para $k = 1, 2, 3$ : solo válido para datos normales.

Estadística inferencial

Error estándar de la media

$SE = \frac{s}{\sqrt{n}}$

Desviación estándar de $\bar{x}$ como estimador.

Intervalo de confianza (media, $\sigma$ conocida)

$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

$z_{\alpha/2} = 1.96$ para un IC del 95 %.

Estadístico t (una muestra)

$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$

Prueba media = $\mu_0$ cuando $\sigma$ es desconocida.

Estadístico chi-cuadrado

$\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$

Prueba de bondad de ajuste / independencia para datos categóricos.

Regresión lineal

Pendiente

$b_1 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2}$

Pendiente de mejor ajuste (mínimos cuadrados).

Intercepto

$b_0 = \bar{y} - b_1 \bar{x}$

Obliga a la recta a pasar por $(\bar{x}, \bar{y})$ .

Correlación de Pearson

$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2}}$

Fuerza y dirección de la relación lineal, $r \in [-1, 1]$ .

Coeficiente de determinación

$R^2 = r^2$

Fracción de la varianza de $y$ explicada por $x$ .

Estadística Formulas