Permutación vs combinación

Las permutaciones y las combinaciones parecen casi idénticas hasta que te haces una pregunta: ¿importa el orden? Si te equivocas en eso, tu respuesta de probabilidad se desviará por un factor de $r!$ o más. Aquí está la distinción clara con ejemplos resueltos.

La pregunta central: ¿importa el orden?

• Sí, el orden importa → permutación. Elegir el 1.º / 2.º / 3.º puesto entre 10 corredores.
• No, el orden no importa → combinación. Elegir un comité de 5 personas entre 20.

Los mismos 10 candidatos pueden dar respuestas distintas según si los roles son distinguibles.

Las fórmulas

Para $n$ elementos, elegir $r$:

$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}, \qquad C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n - r)!}.$

Observa que la combinación es la permutación dividida entre $r!$: ese $r!$ elimina las ordenaciones de los elementos elegidos, porque a las combinaciones no les importa el orden.

Ejemplos resueltos

Permutación: podio de una carrera

Diez corredores, tres posiciones con medalla (oro, plata, bronce). El orden importa: oro ≠ plata.

$P(10, 3) = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720.$

Combinación: números de lotería

Elige 6 números de 49: el orden en tu billete no importa.

$C(49, 6) = \binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13{,}983{,}816.$

Mismos números, respuesta distinta

Elige 3 letras de {A, B, C, D}.

• Como permutación (contraseñas de 3 letras): $P(4, 3) = 24$. ABC, ACB, BAC, ... todas distintas.
• Como combinación (solo elegir 3 letras): $C(4, 3) = 4$. {A,B,C}, {A,B,D}, {A,C,D}, {B,C,D}.

El factor de $3! = 6$ entre ambas es exactamente el $r!$ de la fórmula.

Atajo para decidir

Ante la duda, pregúntate: "Si intercambio dos de mis elementos elegidos, ¿el resultado es distinto?"

• Sí → permutación
• No → combinación

Elegir un capitán y un subcapitán → intercambiar cambia quién es el capitán → permutación.
Elegir 2 personas para un dúo → intercambiar es el mismo dúo → combinación.

Errores comunes

• Mezclar ambas cuando hay probabilidad de por medio. El denominador (total de resultados) y el numerador (resultados favorables) deben usar el mismo método de conteo.
• Olvidar el divisor $r!$. Si calculas permutaciones cuando querías combinaciones, contarás de más por un factor de $r!$.
• Elementos distinguibles frente a indistinguibles. Si algunos elementos son idénticos (p. ej. 5 bolas rojas y 3 azules), ninguna fórmula simple aplica: necesitas el coeficiente multinomial $\frac{n!}{n_1! n_2! \cdots}$.

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