Las inecuaciones se ven idénticas a las ecuaciones hasta que llegas a la regla que te despierta a medianoche: cuando multiplicas o divides por un número negativo, la dirección de la desigualdad se invierte. Esta guía recorre las inecuaciones lineales, compuestas y cuadráticas con los patrones que resuelven el 95% de la tarea.

La única regla que todos olvidan

En las ecuaciones: cada operación preserva la igualdad. $5 = 5$ implica $5 \cdot (-1) = 5 \cdot (-1)$ —ambos lados igualmente negados, la igualdad se mantiene.

En las inecuaciones: multiplicar o dividir ambos lados por un número negativo invierte la dirección. $5 > 3$ es verdadero, pero multiplica ambos por $-1$ y obtenemos $-5 > -3$ , que es falso. La afirmación corregida es $-5 < -3$ .

Esta única regla es el origen de la mayoría de los errores con inecuaciones. Grábatela en los reflejos:

Sumar/restar cualquier cosa → no se invierte.
Multiplicar/dividir por un positivo → no se invierte.
Multiplicar/dividir por un negativo → invierte la desigualdad.

Inecuaciones lineales

Resuélvelas como resuelves ecuaciones lineales, atento a las inversiones de signo.

Ejemplo 1: $3x + 5 > 14$ .

Resta 5: $3x > 9$ .
Divide entre $3$ (positivo, sin inversión): $x > 3$ .
Conjunto solución: $(3, \infty)$ —el paréntesis abierto significa que $x = 3$ no está incluido.

Ejemplo 2 (con inversión): $-2x + 7 \leq 1$ .

Resta 7: $-2x \leq -6$ .
Divide entre $-2$ (negativo: INVIERTE): $x \geq 3$ .
Conjunto solución: $[3, \infty)$ —corchete porque hay $\leq$ , incluyendo el $3$ .

Inecuaciones compuestas

Una inecuación "compuesta" une dos inecuaciones simples con Y o con O.

Y suele escribirse como una sola cadena: $-1 < 2x + 3 \leq 7$ . Opera sobre las tres partes simultáneamente.

Resta 3 en todas partes: $-4 < 2x \leq 4$ .
Divide entre 2 en todas partes: $-2 < x \leq 2$ .
Solución: $(-2, 2]$ .

O se mantiene como dos inecuaciones separadas. La solución es la unión de ambos conjuntos solución individuales:

$x < -3$ o $x > 5$ → solución $(-\infty, -3) \cup (5, \infty)$ .

Inecuaciones cuadráticas

Para $x^2 + bx + c > 0$ (o cualquier inecuación $\neq 0$ ):

Halla las raíces de $x^2 + bx + c = 0$ .
Marca las raíces en la recta numérica: la dividen en intervalos.
Prueba un punto en cada intervalo para ver si la cuadrática es positiva o negativa allí.
Elige los intervalos que coincidan con la dirección de la inecuación.

Ejemplo: $x^2 - 5x + 6 > 0$ .

Factoriza: $(x - 2)(x - 3) > 0$ . Raíces en $x = 2$ y $x = 3$ .
Prueba intervalos:
- $x = 0$ : $(0-2)(0-3) = 6 > 0$ ✓
- $x = 2.5$ : $(0.5)(-0.5) = -0.25 < 0$ ✗
- $x = 4$ : $(2)(1) = 2 > 0$ ✓
Solución: $(-\infty, 2) \cup (3, \infty)$ .

Para inecuaciones con $\leq$ o $\geq$ , incluye las raíces (intervalos cerrados): $(-\infty, 2] \cup [3, \infty)$ .

Representar soluciones en una recta numérica

Círculo abierto (○) en un valor no incluido ( $<$ o $>$ ).
Círculo cerrado (●) en un valor incluido ( $\leq$ o $\geq$ ).
Flecha que se extiende al infinito en la dirección de la solución.

Compuesta Y → segmento entre dos círculos. Compuesta O → dos rayos separados hacia afuera.

Inecuaciones con valor absoluto

$|x - a| < b$ se desarrolla como $-b < x - a < b$ , es decir, $a - b < x < a + b$ —un intervalo acotado.

$|x - a| > b$ se desarrolla como $x - a < -b$ O $x - a > b$ , es decir, $x < a - b$ O $x > a + b$ —dos rayos hacia afuera.

Errores comunes

Olvidar invertir al dividir por un negativo. La mayor fuente de respuestas incorrectas en inecuaciones.
Incluir mal los extremos. $<$ frente a $\leq$ importa: tu tipo de corchete depende de ello.
Tratar la compuesta Y como un igual. $-2 < x < 5$ es una sola afirmación; no puedes partirla en " $x = -2$ o $x = 5$ ".
Resolver inecuaciones cuadráticas como ecuaciones. Igualar $x^2 - 4 > 0$ "a cero" da raíces $\pm 2$ ; la solución de la inecuación no es $\{-2, 2\}$ sino los intervalos entre/alrededor de ellas.

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