Guía rápida de inecuaciones: lineales, compuestas y con valor absoluto

Las inecuaciones aparecen en la optimización, en las tolerancias de ingeniería y en casi todo problema de restricción del mundo real ("el presupuesto no debe superar…"). La mecánica es similar a resolver ecuaciones, con un giro crítico: multiplicar o dividir por un negativo invierte el signo de la desigualdad. Esta guía reúne todos los movimientos que necesitas en una sola página.

Inecuaciones lineales

Trátalas exactamente como ecuaciones lineales —excepto que inviertes el signo cada vez que multiplicas o divides ambos lados por un negativo.

Resuelve $-3x + 5 < 14$:

1. Resta 5: $-3x < 9$.
2. Divide entre $-3$ e invierte: $x > -3$.

El conjunto solución es el intervalo abierto $(-3, \infty)$.

Inecuaciones compuestas

Una inecuación compuesta combina dos más simples con y (intersección) o o (unión).

Resuelve $-1 \le 2x - 3 < 5$ (un "sándwich" de tipo "y"):

1. Suma 3 en las tres partes: $2 \le 2x < 8$.
2. Divide entre 2: $1 \le x < 4$.

Solución: $[1, 4)$.

Para inecuaciones de tipo "o" como $x < -2$ o $x \ge 5$, la solución son dos piezas disjuntas: $(-\infty, -2) \cup [5, \infty)$.

Inecuaciones con valor absoluto

El truco: $|A| < k$ se reescribe como $-k < A < k$, mientras que $|A| > k$ se reescribe como $A < -k$ o $A > k$.

Resuelve $|2x - 1| \le 5$:

1. Reescribe: $-5 \le 2x - 1 \le 5$.
2. Suma 1: $-4 \le 2x \le 6$.
3. Divide entre 2: $-2 \le x \le 3$. Solución $[-2, 3]$.

Inecuaciones cuadráticas

Pasa todo a un lado, factoriza y luego prueba el signo en cada intervalo.

Resuelve $x^2 - x - 6 > 0$:

1. Factoriza: $(x - 3)(x + 2) > 0$.
2. Las raíces dividen la recta en tres intervalos: $(-\infty, -2)$, $(-2, 3)$, $(3, \infty)$.
3. Prueba un punto de cada uno: en $x = -3$ el producto es positivo; en $x = 0$ negativo; en $x = 4$ positivo.
4. Solución: $(-\infty, -2) \cup (3, \infty)$.

Errores comunes

• Olvidar invertir al dividir por un negativo —el error más grande de todos.
• Confundir corchetes abiertos y cerrados: $<$ usa paréntesis, $\le$ usa corchetes.
• Elevar ambos lados al cuadrado de $|A| < B$ a ciegas: solo es válido cuando ambos lados son no negativos.

Verifica con el Solucionador de inecuaciones con IA

Escribe cualquier inecuación en el Solucionador de inecuaciones y verás la lista completa de pasos —perfecto para revisar la tarea.

Referencias relacionadas:

• Solucionador de ecuaciones —la misma álgebra, versión con igualdad
• Solucionador de valor absoluto —para problemas del tipo $|A| = k$
• Solucionador cuadrático —emparejado con el caso cuadrático de arriba