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Ableitungsrechner

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∑Math Input
x^3 + 2x^2 - 5x
sin(x) * cos(x)
e^(2x)
ln(x^2 + 1)

Was ist eine Ableitung?

Eine Ableitung misst die momentane Änderungsrate einer Funktion. Für eine Funktion f(x)f(x) ist die Ableitung f′(x)f'(x) definiert als:

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Geometrisch ist die Ableitung an einem Punkt gleich der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion in diesem Punkt.

Gängige Schreibweisen:

  • f′(x)f'(x) — Lagrange-Schreibweise
  • dydx\frac{dy}{dx} — Leibniz-Schreibweise
  • y˙\dot{y} — Newton-Schreibweise (in der Physik verwendet)

Grundlegende Ableitungsregeln

Potenzregel

ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}

Summen-/Differenzregel

ddx[f(x)±g(x)]=f′(x)±g′(x)\frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)

Produktregel

ddx[f(x)⋅g(x)]=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Quotientenregel

ddx[f(x)g(x)]=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]2\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

Kettenregel

ddx[f(g(x))]=f′(g(x))⋅g′(x)\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Häufige Ableitungen

FunktionAbleitung
sin⁡x\sin xcos⁡x\cos x
cos⁡x\cos x−sin⁡x-\sin x
exe^xexe^x
ln⁡x\ln x1x\frac{1}{x}
axa^xaxln⁡aa^x \ln a

Häufige Fehler, die man vermeiden sollte

  • Die Kettenregel vergessen: Beim Ableiten verketteter Funktionen wie sin⁡(3x)\sin(3x) vergiss nicht, mit der inneren Ableitung (33) zu multiplizieren.
  • Vorzeichenfehler bei der Potenzregel: ddxx−2=−2x−3\frac{d}{dx} x^{-2} = -2x^{-3}, nicht −2x−1-2x^{-1}.
  • Produkt- und Kettenregel verwechseln: (fg)′=f′g+fg′(fg)' = f'g + fg' ist die Produktregel; (f∘g)′=f′(g)⋅g′(f \circ g)' = f'(g) \cdot g' ist die Kettenregel.
  • Konstanten vergessen: Die Ableitung einer Konstanten ist 00, nicht 11.

Examples

Step 1: Wende die Potenzregel auf jeden Term an: ddx(x3)=3x2\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2
Step 2: ddx(2x2)=4x\frac{d}{dx}(2x^2) = 4x, ddx(−5x)=−5\frac{d}{dx}(-5x) = -5, ddx(3)=0\frac{d}{dx}(3) = 0
Step 3: Fasse zusammen: f′(x)=3x2+4x−5f'(x) = 3x^2 + 4x - 5
Answer: f′(x)=3x2+4x−5f'(x) = 3x^2 + 4x - 5

Step 1: Wende die Produktregel an: f′(x)=cos⁡(x)⋅cos⁡(x)+sin⁡(x)⋅(−sin⁡(x))f'(x) = \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x))
Step 2: Vereinfache: f′(x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)=cos⁡(2x)f'(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x)
Answer: f′(x)=cos⁡(2x)f'(x) = \cos(2x)

Step 1: Wende die Kettenregel an: äußere Funktion eue^u mit u=2xu = 2x
Step 2: f′(x)=e2x⋅ddx(2x)=e2x⋅2f'(x) = e^{2x} \cdot \frac{d}{dx}(2x) = e^{2x} \cdot 2
Answer: f′(x)=2e2xf'(x) = 2e^{2x}

Frequently Asked Questions

Die Potenzregel besagt, dass die Ableitung von x^n gleich n·x^(n-1) ist. Zum Beispiel ist die Ableitung von x³ gleich 3x².

Nutze die Kettenregel beim Ableiten verketteter Funktionen — Funktionen innerhalb anderer Funktionen, wie sin(3x), e^(x²) oder ln(2x+1). Multipliziere die äußere Ableitung mit der inneren Ableitung.

Eine Ableitung findet die Änderungsrate (Steigung) einer Funktion, während ein Integral die akkumulierte Fläche unter einer Kurve findet. Sie sind zueinander inverse Operationen.

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