Rechner für quadratische Gleichungen

Eine quadratische Gleichung ist eine Polynomgleichung zweiten Grades der Form:

$ax^2 + bx + c = 0$

wobei $a$, $b$ und $c$ Konstanten sind und $a \neq 0$.

Der Graph einer quadratischen Gleichung ist eine Parabel — eine U-förmige Kurve, die sich nach oben öffnet, wenn $a > 0$, und nach unten, wenn $a < 0$. Die Lösungen (auch Nullstellen genannt) sind die x-Werte, an denen die Parabel die x-Achse schneidet.

Es gibt vier wichtige Methoden:

1. Mitternachtsformel

Die universellste Methode. Für $ax^2 + bx + c = 0$:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Die Diskriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ bestimmt die Anzahl der Lösungen:

• $\Delta > 0$: zwei verschiedene reelle Nullstellen
• $\Delta = 0$: eine doppelte reelle Nullstelle
• $\Delta < 0$: zwei konjugiert komplexe Nullstellen

2. Faktorisierung

Wenn sich die quadratische Gleichung als $(x - r_1)(x - r_2) = 0$ ausdrücken lässt, sind die Nullstellen $r_1$ und $r_2$.

Beispiel: $x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3) = 0$ → $x = -2$ oder $x = -3$

3. Quadratische Ergänzung

Schreibe $ax^2 + bx + c = 0$ in die Form $(x + p)^2 = q$ um und löse durch Wurzelziehen.

4. Graphisches Lösen

Zeichne $y = ax^2 + bx + c$ und finde die x-Achsenabschnitte.

• Vergessen, dass $a \neq 0$: Wenn $a = 0$, wird es zu einer linearen Gleichung.
• Vorzeichenfehler in der Formel: Sei vorsichtig mit $-b$ — wenn $b$ negativ ist, ist $-b$ positiv.
• Das $\pm$ vergessen: Die Formel liefert zwei Lösungen. Lass keine weg.
• Wurzeln nicht vereinfachen: Vereinfache $\sqrt{b^2 - 4ac}$ immer so weit wie möglich.
• Divisionsfehler: Denke daran, den gesamten Zähler durch $2a$ zu dividieren.