Die Kettenregel: wann und wie man sie anwendet (mit Beispielen)

Die Kettenregel ist das am häufigsten verwendete Werkzeug der Differentiation und zugleich die größte Fehlerquelle. Hast du das Muster "außen, dann innen" erst verinnerlicht, kannst du fast jede verkettete Funktion in drei Zeilen ableiten. Dieser Leitfaden zeigt dir das Muster, geht durch sieben schwieriger werdende Beispiele und nennt die vier Fehler, die man sich vorab merken sollte.

Was die Kettenregel sagt

Sind $f$ und $g$ differenzierbar, so ist die Ableitung der Verkettung $f(g(x))$

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x).$

In Worten: leite die äußere Funktion ab, ausgewertet an der inneren, und multipliziere mit der Ableitung der inneren. Die Bezeichnungen "äußere" und "innere" sind nicht verhandelbar – verwechselt man sie, kippt das Ergebnis.

Eine nützliche Eselsbrücke: die Kettenregel ist "äußere Ableitung mal innere Ableitung", nie plus, nie nur eine.

Durchgerechnete Beispiele (leicht → schwer)

Beispiel 1: $\frac{d}{dx}\sin(2x)$

• Außen: $\sin(u)$, innen: $u = 2x$.
• $\frac{d}{du}\sin(u) = \cos(u)$, $\frac{d}{dx}(2x) = 2$.
• Ergebnis: $\cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$.

Beispiel 2: $\frac{d}{dx} e^{x^2}$

• Außen: $e^u$, innen: $u = x^2$.
• $\frac{d}{du} e^u = e^u$, $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$.
• Ergebnis: $e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$.

Beispiel 3: $\frac{d}{dx}(3x^2 + 1)^4$

• Außen: $u^4$, innen: $u = 3x^2 + 1$.
• $\frac{d}{du} u^4 = 4u^3$, $\frac{d}{dx}(3x^2 + 1) = 6x$.
• Ergebnis: $4(3x^2 + 1)^3 \cdot 6x = 24x(3x^2 + 1)^3$.

Beispiel 4: $\frac{d}{dx}\ln(\cos x)$

• Außen: $\ln u$, innen: $u = \cos x$.
• $\frac{d}{du}\ln u = \frac{1}{u}$, $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$.
• Ergebnis: $\frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x$.

Beispiel 5: $\frac{d}{dx}\sqrt{x^2 + 1}$

• Schreibe um als $(x^2 + 1)^{1/2}$.
• Außen: $u^{1/2}$, innen: $u = x^2 + 1$.
• Äußere Ableitung: $\frac{1}{2}u^{-1/2}$. Innen: $2x$.
• Ergebnis: $\frac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

Beispiel 6: verschachtelte Kette — $\frac{d}{dx}\sin(\cos(x^2))$

Drei Schichten — wende die Kettenregel zweimal an.

• Ganz außen: $\sin(u)$, innen $u = \cos(x^2)$.
• $\frac{du}{dx} = -\sin(x^2) \cdot 2x$ (Kettenregel auf $\cos(x^2)$).
• Ergebnis: $\cos(\cos(x^2)) \cdot (-\sin(x^2)) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)\cos(\cos(x^2))$.

Beispiel 7: Kette + Produktregel zusammen — $\frac{d}{dx}\bigl(x^2 \sin(3x)\bigr)$

• Nutze zuerst die Produktregel: $(fg)' = f'g + fg'$.
• $f = x^2$, $f' = 2x$. $g = \sin(3x)$, per Kettenregel $g' = 3\cos(3x)$.
• Ergebnis: $2x \sin(3x) + x^2 \cdot 3\cos(3x) = 2x\sin(3x) + 3x^2\cos(3x)$.

Die vier merkenswerten Fehler

1. Die innere Ableitung vergessen. $\frac{d}{dx}\sin(2x) = \cos(2x)$ zu schreiben ist der häufigste Kettenregel-Fehler. Der Faktor $2$ ist Pflicht.
2. Das Innere vor dem Einsetzen ableiten. $\frac{d}{dx}(3x^2+1)^4$ ist nicht $4(6x)^3$. Die äußere Ableitung wird am inneren Ausdruck ausgewertet, nicht an der inneren Ableitung.
3. Verschachtelte Funktion mit Produkt verwechseln. $\sin(2x)$ ist eine Verkettung, kein Produkt. Nutze die Kettenregel, nicht die Produktregel.
4. Trigonometrische Potenzen falsch klammern. $\sin^2(x) = (\sin x)^2$ — außen ist $u^2$, innen ist $\sin x$. Leicht verwechselt mit $\sin(x^2)$, wo außen $\sin$ und innen $x^2$ ist.

Wenn du feststeckst: der Substitutionstrick

Setze $u = \text{(der innere Teil)}$, bestimme $\frac{dy}{du}$ und $\frac{du}{dx}$, multipliziere. Selbst wenn die Funktion einschüchternd aussieht, funktioniert diese mechanische Substitution immer.

Probiere es selbst

Füge eine beliebige verkettete Funktion in unseren kostenlosen Ableitungsrechner ein und sieh dir jede Anwendung der Kettenregel Schritt für Schritt an. Kombiniere ihn mit unserem Kettenregel-Spickzettelabschnitt zum schnellen Nachschlagen bei den Hausaufgaben.

Für tiefergehendes verwandtes Material:

• Grenzwertrechner — Grenzwerte sind die Grundlage der Kettenregel
• Integralrechner — die Substitution ist die Kettenregel rückwärts
• Durchgerechnetes Beispiel: Ableitung von sin(2x)
• Durchgerechnetes Beispiel: Ableitung von e^(2x)