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Standardabweichungsrechner

Berechne Standardabweichung, Varianz und Mittelwert mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

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∑Math Input
4, 8, 6, 5, 3
10, 20, 30, 40, 50
2.5, 3.1, 4.7, 1.8

Was ist die Standardabweichung?

Die Standardabweichung misst, wie stark die Datenwerte vom Mittelwert gestreut sind. Eine niedrige Standardabweichung bedeutet, dass die Datenpunkte nahe am Mittelwert liegen; eine hohe Standardabweichung bedeutet, dass die Daten stärker gestreut sind.

Populationsstandardabweichung

Wird verwendet, wenn man Daten für die gesamte Population hat:

σ=∑i=1N(xi−μ)2N\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}{N}}

Stichprobenstandardabweichung

Wird verwendet, wenn man eine Stichprobe aus einer größeren Population hat (nutzt n−1n-1 für die Bessel-Korrektur):

s=∑i=1n(xi−xˉ)2n−1s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}}

wobei μ\mu (oder xˉ\bar{x}) der Mittelwert und NN (oder nn) die Anzahl der Datenpunkte ist.

So berechnet man die Standardabweichung

Schritt-für-Schritt-Vorgehen

  1. Finde den Mittelwert xˉ=∑xin\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}
  2. Subtrahiere den Mittelwert von jedem Datenpunkt: (xi−xˉ)(x_i - \bar{x})
  3. Quadriere jede Differenz: (xi−xˉ)2(x_i - \bar{x})^2
  4. Summiere alle quadrierten Differenzen: ∑(xi−xˉ)2\sum(x_i - \bar{x})^2
  5. Teile durch nn (Population) oder n−1n-1 (Stichprobe), um die Varianz zu erhalten
  6. Ziehe die Wurzel, um die Standardabweichung zu erhalten

Verwandte Maße

MaßFormelBedeutung
Mittelwertxˉ=∑xin\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}Durchschnittswert
Varianzs2=∑(xi−xˉ)2n−1s^2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1}Quadrierte Streuung
Standardabweichungs=s2s = \sqrt{s^2}Streuung in ursprünglichen Einheiten

Examples

Step 1: Mittelwert: xˉ=4+8+6+5+35=265=5.2\bar{x} = \frac{4+8+6+5+3}{5} = \frac{26}{5} = 5.2
Step 2: Quadrierte Differenzen: (4−5.2)2=1.44(4-5.2)^2=1.44, (8−5.2)2=7.84(8-5.2)^2=7.84, (6−5.2)2=0.64(6-5.2)^2=0.64, (5−5.2)2=0.04(5-5.2)^2=0.04, (3−5.2)2=4.84(3-5.2)^2=4.84
Step 3: Summe: 1.44+7.84+0.64+0.04+4.84=14.81.44+7.84+0.64+0.04+4.84 = 14.8
Step 4: Varianz: s2=14.85−1=3.7s^2 = \frac{14.8}{5-1} = 3.7
Step 5: Standardabweichung: s=3.7≈1.924s = \sqrt{3.7} \approx 1.924
Answer: s≈1.924s \approx 1.924

Step 1: Mittelwert: μ=10+20+303=20\mu = \frac{10+20+30}{3} = 20
Step 2: Quadrierte Differenzen: (10−20)2=100(10-20)^2=100, (20−20)2=0(20-20)^2=0, (30−20)2=100(30-20)^2=100
Step 3: Varianz: σ2=100+0+1003=2003≈66.67\sigma^2 = \frac{100+0+100}{3} = \frac{200}{3} \approx 66.67
Step 4: Standardabweichung: σ=66.67≈8.165\sigma = \sqrt{66.67} \approx 8.165
Answer: σ≈8.165\sigma \approx 8.165

Frequently Asked Questions

Die Populationsstandardabweichung teilt durch N (Gesamtzahl der Datenpunkte), während die Stichprobenstandardabweichung durch n-1 (Bessel-Korrektur) teilt, um eine erwartungstreue Schätzung der wahren Populationsstreuung zu liefern.

Eine hohe Standardabweichung zeigt an, dass die Datenpunkte über einen breiteren Wertebereich gestreut sind, was bedeutet, dass es mehr Variabilität im Datensatz gibt.

Die Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung. Sie misst den durchschnittlichen quadrierten Abstand vom Mittelwert. Die Standardabweichung wird zur Interpretation bevorzugt, da sie dieselben Einheiten wie die Daten verwendet.

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