Partielle Integration: ein praktischer Leitfaden mit Beispielen

Die partielle Integration ist die rückwärts angewandte Produktregel und nach der Substitution die mit Abstand am häufigsten genutzte Integrationstechnik. Die Formel ist kurz, aber die Wahl, welcher Teil "u" und welcher "dv" ist, wird beim ersten Mal zur Kunst. Dieser Leitfaden führt durch die LIATE-Eselsbrücke und fünf zunehmend schwierigere Beispiele, sodass du am Ende eine zuverlässige Methode statt Versuch und Irrtum hast.

Die Formel

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

Tausche ein Integral gegen ein anderes, das (hoffentlich) einfacher ist. Die Kunst liegt in der Wahl von $u$ und $dv$ — schlechte Wahl macht das neue Integral schwerer.

LIATE: eine zuverlässige Faustregel

Bevorzuge bei der Wahl von $u$ Funktionen, die in dieser Liste weiter vorne stehen:

Logarithmisch > Inverse Trigonometrie > Algebraisch > Trigonometrisch > Exponentiell

Was übrig bleibt, wird zu $dv$. LIATE ist kein Satz, funktioniert aber bei rund 90 % der Lehrbuchaufgaben.

Beispiel 1: $\int x e^x \, dx$ (algebraisch × exponentiell)

LIATE → algebraisch vor exponentiell, also $u = x$, $dv = e^x \, dx$.

• $du = dx$, $v = e^x$.
• Anwenden: $\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$.

Beispiel 2: $\int x \ln x \, dx$ (algebraisch × logarithmisch)

LIATE → Logarithmus zuerst: $u = \ln x$, $dv = x \, dx$.

• $du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$.
• $\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx$.
• Vereinfachen: $\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$.

Beispiel 3: $\int x^2 \sin x \, dx$ (algebraisch × trigonometrisch — zweimal anwenden)

$u = x^2$, $dv = \sin x \, dx$. Dann $du = 2x \, dx$, $v = -\cos x$.

• Erster Durchgang: $\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x \, dx$.
• Zweiter Durchgang bei $\int 2x \cos x \, dx$: setze $u = 2x$, $dv = \cos x \, dx$. Dann $du = 2 \, dx$, $v = \sin x$.
• $\int 2x \cos x \, dx = 2x \sin x - \int 2 \sin x \, dx = 2x \sin x + 2 \cos x$.
• Zusammenfassen: $-x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C$.

Wenn du ein Polynom vom Grad $n$ multipliziert mit $\sin/\cos/\exp$ siehst, erwarte, die Regel $n$-mal anzuwenden.

Beispiel 4: $\int e^x \cos x \, dx$ (der Schleifentrick)

Beide Faktoren sind gleich "gute" Kandidaten — keiner wird beim Integrieren oder Ableiten einfacher. Wende die Regel zweimal an, beobachte, wie das ursprüngliche Integral zurückkehrt, und löse dann algebraisch.

• Erster Durchgang: $u = \cos x$, $dv = e^x \, dx$ → $\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx$.
• Zweiter Durchgang beim neuen Integral: $u = \sin x$, $dv = e^x \, dx$ → $\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx$.
• Rückeinsetzen: ursprünglich $= e^x \cos x + e^x \sin x -$ ursprünglich.
• Lösen: $2 \cdot \text{ursprünglich} = e^x (\cos x + \sin x)$, also ursprünglich $= \frac{e^x(\cos x + \sin x)}{2} + C$.

Beispiel 5: $\int \ln x \, dx$ (der Fall „kein offensichtliches dv“)

Es sieht so aus, als gäbe es nichts als $dv$ zu integrieren. Trick: verwende $dv = dx$ (die „$1$“ in $\ln x \cdot 1$).

• $u = \ln x$, $dv = dx$ → $du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$.
• $\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - x + C$.

Derselbe Trick funktioniert für $\int \arcsin x \, dx$, $\int \arctan x \, dx$ und ähnliche.

Häufige Fehler

1. Vorzeichenfehler. Die Formel hat ein einziges Minuszeichen — nutze Schmierpapier, um $+/-$ zu verfolgen.
2. Falsche Wahl von $u$. Wenn das neue Integral schwerer als das ursprüngliche ist, hast du $u$ und $dv$ vertauscht. Tausche sie.
3. „+ C“ vergessen bei unbestimmten Integralen.
4. Partielle Integration verwenden, wenn Substitution funktionieren würde. Partielle Integration ist für Produkte gedacht, die nicht in ein Substitutionsmuster passen. Bei $\int f(g(x)) g'(x) \, dx$ verwende die Substitution.

Probiere es selbst

Gib ein beliebiges Integral in den Integralrechner ein und wir zeigen dir, ob Substitution, partielle Integration oder Partialbruchzerlegung der richtige Schritt ist — samt jedem einzelnen Schritt.

Für konkrete durchgerechnete Beispiele und verwandte Themen:

• Durchgerechnetes Beispiel: ∫ x² dx
• Durchgerechnetes Beispiel: ∫ sin(x) dx
• Spickzettel zu Analysis-Formeln
• Kettenregel meistern — der Ableitungs-Verwandte