Ungleichungen-Spickzettel: linear, zusammengesetzt und Beträge

Ungleichungen tauchen in der Optimierung, bei technischen Toleranzen und in fast jedem realen Nebenbedingungsproblem auf ("das Budget darf nicht überschritten werden …"). Die Mechanik ähnelt dem Lösen von Gleichungen, mit einer entscheidenden Wendung: Multiplizieren oder Dividieren durch eine negative Zahl kehrt das Ungleichheitszeichen um. Dieser Leitfaden fasst auf einer einzigen Seite jeden Schritt zusammen, den du brauchst.

Lineare Ungleichungen

Behandle sie genau wie lineare Gleichungen — außer dass du das Zeichen umkehrst, wann immer du beide Seiten mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch sie dividierst.

Löse $-3x + 5 < 14$:

1. Subtrahiere 5: $-3x < 9$.
2. Dividiere durch $-3$ und kehre um: $x > -3$.

Die Lösungsmenge ist das offene Intervall $(-3, \infty)$.

Zusammengesetzte Ungleichungen

Eine zusammengesetzte Ungleichung verbindet zwei einfachere mit und (Schnittmenge) oder oder (Vereinigung).

Löse $-1 \le 2x - 3 < 5$ (ein „und"-Sandwich):

1. Addiere 3 zu allen drei Teilen: $2 \le 2x < 8$.
2. Dividiere durch 2: $1 \le x < 4$.

Lösung: $[1, 4)$.

Für „oder"-Ungleichungen wie $x < -2$ oder $x \ge 5$ besteht die Lösung aus zwei disjunkten Teilen: $(-\infty, -2) \cup [5, \infty)$.

Betragsungleichungen

Der Trick: $|A| < k$ wird zu $-k < A < k$ umgeschrieben, während $|A| > k$ zu $A < -k$ oder $A > k$ umgeschrieben wird.

Löse $|2x - 1| \le 5$:

1. Schreibe um: $-5 \le 2x - 1 \le 5$.
2. Addiere 1: $-4 \le 2x \le 6$.
3. Dividiere durch 2: $-2 \le x \le 3$. Lösung $[-2, 3]$.

Quadratische Ungleichungen

Bringe alles auf eine Seite, faktorisiere und teste dann das Vorzeichen auf jedem Intervall.

Löse $x^2 - x - 6 > 0$:

1. Faktorisiere: $(x - 3)(x + 2) > 0$.
2. Die Nullstellen teilen die Zahlengerade in drei Intervalle: $(-\infty, -2)$, $(-2, 3)$, $(3, \infty)$.
3. Teste einen Punkt aus jedem: bei $x = -3$ ist das Produkt positiv; bei $x = 0$ negativ; bei $x = 4$ positiv.
4. Lösung: $(-\infty, -2) \cup (3, \infty)$.

Häufige Fehler

• Das Umkehren vergessen beim Dividieren durch eine negative Zahl — der mit Abstand größte Fehler.
• Offene und geschlossene Klammern verwechseln: $<$ verwendet runde Klammern, $\le$ verwendet eckige Klammern.
• Beide Seiten von $|A| < B$ blind quadrieren: nur gültig, wenn beide Seiten nicht negativ sind.

Mit dem KI-Ungleichungslöser überprüfen

Gib eine beliebige Ungleichung in den Ungleichungslöser ein und du siehst die vollständige Schrittliste — perfekt zum Gegenchecken von Hausaufgaben.

Verwandte Referenzen:

• Gleichungslöser — dieselbe Algebra, Gleichheitsversion
• Betragslöser — für Aufgaben vom Typ $|A| = k$
• Quadratiklöser — passend zum quadratischen Fall oben