Gleichungsrechner

Eine Gleichung ist eine mathematische Aussage, die behauptet, dass zwei Ausdrücke gleich sind, verbunden durch das $=$-Zeichen:

$\text{linke Seite} = \text{rechte Seite}$

Lösen einer Gleichung bedeutet, alle Werte der Variablen zu finden, die die Aussage wahr machen. Diese Werte heißen Lösungen oder Nullstellen.

Gleichungen gibt es in vielen Typen:

• Linear: $3x + 2 = 11$
• Quadratisch: $x^2 - 4x + 3 = 0$
• Rational: $\frac{x+1}{x-2} = 3$
• Wurzel: $\sqrt{2x+1} = x - 1$
• Exponentiell: $2^x = 32$
• Logarithmisch: $\log_2(x) = 5$
• Betrag: $|3x - 2| = 7$
• Trigonometrisch: $\sin(x) = \frac{1}{2}$

Dieser Allzweck-Löser behandelt all diese Typen und mehr und wählt die passende Methode anhand der Struktur der Gleichung. Anders als spezialisierte Löser (nur linear oder nur quadratisch) erkennt dieses Werkzeug den Gleichungstyp und wendet automatisch die beste Strategie an.

1. Rationale Gleichungen

Multipliziere beide Seiten mit dem Hauptnenner, löse das resultierende Polynom und prüfe auf Scheinlösungen (Werte, die einen Nenner null machen).

Beispiel: $\frac{x+1}{x-2} = 3$

1. Multipliziere beide Seiten mit $(x-2)$: $x + 1 = 3(x-2)$
2. $x + 1 = 3x - 6$ → $-2x = -7$ → $x = \frac{7}{2}$
3. Probe: $x = \frac{7}{2} \neq 2$ ✓

2. Wurzelgleichungen

Isoliere die Wurzel und quadriere dann (oder erhebe in die passende Potenz) beide Seiten. Überprüfe Lösungen immer.

Beispiel: $\sqrt{2x+1} = x - 1$

1. Quadriere beide Seiten: $2x + 1 = (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$
2. Umstellen: $x^2 - 4x = 0$ → $x(x-4) = 0$ → $x = 0$ oder $x = 4$
3. Prüfe $x = 0$: $\sqrt{1} = -1$? Nein! Scheinlösung.
4. Prüfe $x = 4$: $\sqrt{9} = 3$ ✓

3. Exponentialgleichungen

Wenn die Basen angeglichen werden können, setze die Exponenten gleich. Andernfalls logarithmiere.

Beispiel: $2^x = 32 = 2^5$ → $x = 5$

4. Betragsgleichungen

Teile in zwei Fälle auf: der Ausdruck im Inneren ist gleich $+c$ oder $-c$.

Beispiel: $|3x - 2| = 7$

• Fall 1: $3x - 2 = 7$ → $x = 3$
• Fall 2: $3x - 2 = -7$ → $x = -\frac{5}{3}$

5. Logarithmische Gleichungen

Wandle in die Exponentialform um oder nutze Logarithmusgesetze zum Zusammenfassen.

Beispiel: $\log_2(x) = 5$ → $x = 2^5 = 32$

• Nicht auf Scheinlösungen prüfen: Das Quadrieren beider Seiten oder das Multiplizieren mit variablen Ausdrücken kann falsche Lösungen einführen. Setze immer in die ursprüngliche Gleichung zurück ein.
• Definitionsbereich-Einschränkungen vergessen: Logarithmen verlangen positive Argumente; Wurzeln verlangen nicht negative Radikanden; Brüche verlangen Nenner ungleich null.
• Lösungen beim Betrag weglassen: $|x| = 5$ hat ZWEI Lösungen ($x = 5$ und $x = -5$). Vergiss den negativen Fall nicht.
• Falsche Log-/Exponentialumformung: $\log(a+b) \neq \log(a) + \log(b)$. Der Logarithmus einer Summe ist NICHT die Summe der Logarithmen.
• Durch eine Variable teilen, ohne zu prüfen, ob sie null ist: Wenn du beide Seiten durch $x$ teilst, könntest du die Lösung $x = 0$ verlieren.