Ungleichungsrechner

Eine Ungleichung ist eine mathematische Aussage, die zwei Ausdrücke mit einem der folgenden Symbole vergleicht:

• $<$ (kleiner als)
• $>$ (größer als)
• $\leq$ (kleiner oder gleich)
• $\geq$ (größer oder gleich)

Anders als Gleichungen (die fragen "welche Werte machen beide Seiten gleich?") fragen Ungleichungen "welche Werte machen eine Seite größer (oder kleiner) als die andere?"

Zum Beispiel fragt die Ungleichung:

$2x - 5 > 3$

für welche Werte von $x$ ist $2x - 5$ größer als $3$?

Die Lösung einer Ungleichung ist typischerweise ein Bereich von Werten (ein Intervall), keine einzelne Zahl. Lösungen werden oft in Intervallschreibweise angegeben:

• $(a, b)$: alle Werte streng zwischen $a$ und $b$
• $[a, b]$: alle Werte von $a$ bis $b$, einschließlich
• $(-\infty, a) \cup (b, \infty)$: alle Werte kleiner als $a$ oder größer als $b$

Ungleichungen sind grundlegend in der Optimierung, bei Nebenbedingungsproblemen und beim Bestimmen von Definitions- und Wertebereichen von Funktionen.

1. Lineare Ungleichungen

Löse wie eine lineare Gleichung, mit einer entscheidenden Regel: das Ungleichheitszeichen umkehren, wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert.

Beispiel: Löse $2x - 5 > 3$

1. Addiere 5: $2x > 8$
2. Dividiere durch 2: $x > 4$

Lösung: $(4, \infty)$

Beispiel mit Vorzeichenumkehr: Löse $-3x + 6 \leq 12$

1. Subtrahiere 6: $-3x \leq 6$
2. Dividiere durch $-3$ (umkehren!): $x \geq -2$

2. Quadratische Ungleichungen

Löse zuerst die zugehörige Gleichung, dann teste die Intervalle.

Beispiel: Löse $x^2 - 4x - 5 > 0$

1. Faktorisiere: $(x - 5)(x + 1) > 0$
2. Kritische Punkte: $x = -1$ und $x = 5$
3. Teste die Intervalle:
   • $x < -1$: $(-)(-) = (+) > 0$ ✓
   • $-1 < x < 5$: $(-)(+) = (-) < 0$ ✗
   • $x > 5$: $(+)(+) = (+) > 0$ ✓

Lösung: $(-\infty, -1) \cup (5, \infty)$

3. Rationale Ungleichungen

Finde, wo Zähler und Nenner null sind (kritische Punkte), und teste dann das Vorzeichen in jedem Intervall. Multipliziere niemals beide Seiten mit einem Ausdruck, der negativ sein könnte.

4. Betragsungleichungen

• $|x| < a$ bedeutet $-a < x < a$
• $|x| > a$ bedeutet $x < -a$ oder $x > a$

5. Vorzeichentabellen-Methode

Erstelle für polynomiale/rationale Ungleichungen eine Vorzeichentabelle, die das Vorzeichen jedes Faktors in jedem Intervall zeigt.

• Vergessen, das Ungleichheitszeichen umzukehren: Wenn du beide Seiten mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst, musst du die Richtung der Ungleichung umkehren.
• Kritische Punkte falsch einbeziehen: Bei strikten Ungleichungen ($<$, $>$) werden kritische Punkte NICHT einbezogen. Bei $\leq$ oder $\geq$ schon.
• Mit einer Variablen multiplizieren, ohne ihr Vorzeichen zu beachten: Wenn du beide Seiten mit $x$ multiplizierst, musst du die Fälle $x > 0$ und $x < 0$ getrennt betrachten.
• Zusammengesetzte Ungleichungen falsch behandeln: Bei $a < f(x) < b$ löse beide Teile gleichzeitig, nicht unabhängig.
• Lösung in falscher Schreibweise notieren: Verwende Klammern für strikte Ungleichungen und eckige Klammern für einschließende.