Betragsrechner

Der Betrag einer reellen Zahl $x$, geschrieben als $|x|$, ist ihr Abstand von $0$ auf dem Zahlenstrahl:

$|x| = \begin{cases} x & \text{falls } x \geq 0 \\ -x & \text{falls } x < 0 \end{cases}$

Wichtige Eigenschaften:

• $|x| \geq 0$ für alle $x$, mit Gleichheit genau dann, wenn $x = 0$.
• $|xy| = |x||y|$ (Multiplikativität).
• $|x + y| \leq |x| + |y|$ (Dreiecksungleichung).
• $|x|^2 = x^2$, also $|x| = \sqrt{x^2}$.

Geometrische Deutung: $|a - b|$ ist der Abstand zwischen den Zahlen $a$ und $b$ auf dem Zahlenstrahl. Deshalb lassen sich Betragsungleichungen sauber in Abstandsaussagen übersetzen.

Der Betrag lässt sich auf komplexe Zahlen ($|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$) und auf Vektoren (euklidische Norm) erweitern, aber hier konzentrieren wir uns auf den reellwertigen Fall, der in den meisten Aufgaben vorkommt.

Typ 1: Betragsgleichung

$|f(x)| = c$, wobei $c$ eine Konstante ist.

• Falls $c < 0$: keine Lösung (ein Betrag kann nie negativ sein).
• Falls $c = 0$: löse $f(x) = 0$.
• Falls $c > 0$: teile in zwei Fälle auf: $f(x) = c$ oder $f(x) = -c$. Löse beide und behalte alle gültigen Lösungen.

Beispiel: $|2x - 3| = 7$ teilt sich auf in $2x - 3 = 7$ oder $2x - 3 = -7$ und ergibt $x = 5$ oder $x = -2$.

Typ 2: Kleiner-als-Ungleichung

$|f(x)| < c$ (oder $\leq$), wobei $c > 0$.

Gleichwertig zu: $-c < f(x) < c$ (eine zusammengesetzte Ungleichung, UND).

Geometrische Bedeutung: $f(x)$ liegt im Abstand kleiner als $c$ von $0$.

Beispiel: $|2x + 1| < 7$ wird zu $-7 < 2x + 1 < 7$ und ergibt $-4 < x < 3$.

Falls $c \leq 0$, gibt es keine Lösung (bzw. nur $f(x) = 0$, falls $c = 0$).

Typ 3: Größer-als-Ungleichung

$|f(x)| > c$ (oder $\geq$), wobei $c \geq 0$.

Gleichwertig zu: $f(x) < -c$ oder $f(x) > c$ (eine Disjunktion, ODER).

Beispiel: $|3x - 6| \geq 9$ wird zu $3x - 6 \leq -9$ oder $3x - 6 \geq 9$ und ergibt $x \leq -1$ oder $x \geq 5$.

Falls $c < 0$, erfüllt jede reelle Zahl die Ungleichung.

Knifflig: Betrag auf beiden Seiten

$|f(x)| = |g(x)|$ teilt sich auf in $f(x) = g(x)$ oder $f(x) = -g(x)$.

Lösungen überprüfen

Setze immer in die ursprüngliche Gleichung zurück ein. Quadrieren oder Fallunterscheidung kann in manchen Fällen Scheinlösungen einführen.

• Den negativen Fall weglassen: $|x| = 5$ hat zwei Lösungen, $x = 5$ und $x = -5$. Anfänger schreiben oft nur die positive auf.
• UND und ODER vertauschen: $|x| < c$ nutzt UND (zwischen $-c$ und $c$); $|x| > c$ nutzt ODER (kleiner als $-c$ oder größer als $c$). Vertauscht man sie, erhält man falsche Antworten.
• Vergessen, dass $c$ nicht negativ sein darf: $|f(x)| = -3$ hat keine Lösung, da $|f(x)| \geq 0$ immer gilt.
• Vorzeichenverwechslung im negativen Fall: $|2x - 3| = 7$ ergibt $2x - 3 = -7$, nicht $-(2x) - 3 = 7$. Negiere den gesamten Ausdruck, der gleich $-c$ ist.
• Scheinlösungen übersehen: Setze nach dem Lösen immer in die ursprüngliche Gleichung zurück ein. Wenn die Betragsstruktur darauf beruhte, dass $f(x)$ nicht negativ ist, überprüfe das.