Grenzwert-Tricks

Standardgrenzwert (sin)

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Grundlage für alle trigonometrischen Grenzwerte.

Regel von de L’Hospital

$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

Anwenden, wenn der Grenzwert $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$ ist.

Ableitungsregeln

Potenzregel

$\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$

Gilt für jeden reellen Exponenten.

Produktregel

$(fg)' = f'g + fg'$

Zwei multiplizierte Funktionen – jede abwechselnd ableiten.

Quotientenregel

$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$

Für Quotienten; merke die Reihenfolge $f'g$ vor $fg'$ .

Kettenregel

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Erst außen, dann innen; die häufigste Fehlerquelle.

Häufige Ableitungen

sin

$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$

cos

$\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$

Beachte das negative Vorzeichen.

e^x

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$

Die einzige Fixpunktfunktion.

ln x

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$

Definitionsbereich $x > 0$ .

Integraltabelle

Potenzregel (Integral)

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\quad(n \neq -1)$

Umkehrung der Potenzregel der Ableitung.

1/x

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$

Die Ausnahme $n=-1$ zur Potenzregel.

sin / cos

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C,\quad \int \cos x\,dx = \sin x + C$

Die Vorzeichen merken – leicht zu verwechseln.

Exponentialfunktion

$\int e^x\,dx = e^x + C$

Gleich wie ihre Ableitung.

Taylor-/Maclaurin-Reihen

e^x

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

Konvergiert für alle reellen $x$ .

sin x

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Nur ungerade Potenzen.

cos x

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$

Nur gerade Potenzen.

Analysis Formulas