AI Math
افتح التطبيق

حاسبة الجيب والجيب التمام والظل

حساب ورسم دوال الجيب وجيب التمام والظل مع شروحات خطوة بخطوة

اسحب وأفلت أو انقر لإضافة صور أو ملف PDF

∑Math Input
sin(pi/3)
cos(225°)
tan(7pi/4)
sin(x) + cos(x) at x = pi/4

ما هو الجيب وجيب التمام والظل؟

الدوال المثلثية الأساسية الثلاث — الجيب وجيب التمام والظل — تربط الزوايا بنسب الأضلاع في مثلث قائم:

sin⁡θ=oppositehypotenuse,cos⁡θ=adjacenthypotenuse,tan⁡θ=oppositeadjacent=sin⁡θcos⁡θ\sin\theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}, \quad \cos\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}, \quad \tan\theta = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

على دائرة الوحدة (نصف القطر 1، مركزها نقطة الأصل)، لزاوية θ\theta تُقاس من المحور xx الموجب:

  • cos⁡θ\cos\theta = الإحداثي xx للنقطة
  • sin⁡θ\sin\theta = الإحداثي yy للنقطة
  • tan⁡θ\tan\theta = ميل الشعاع النهائي

الخصائص الأساسية:

  • sin⁡\sin و cos⁡\cos لهما المدى [−1,1][-1, 1] والدورة 2π2\pi
  • tan⁡\tan له المدى (−∞,∞)(-\infty, \infty) والدورة π\pi
  • tan⁡θ\tan\theta غير معرّف عندما cos⁡θ=0\cos\theta = 0 (عند π2+nπ\frac{\pi}{2} + n\pi)

الدوال المقلوبة هي:
csc⁡θ=1sin⁡θ,sec⁡θ=1cos⁡θ,cot⁡θ=1tan⁡θ\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}, \quad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}

هذه الدوال الست تشكّل أساس حساب المثلثات وتظهر في جميع أنحاء الرياضيات والفيزياء والهندسة ومعالجة الإشارات.

كيفية حساب الجيب وجيب التمام والظل

الطريقة 1: دائرة الوحدة (القيم الدقيقة)

احفظ الزوايا الأساسية وإحداثياتها على دائرة الوحدة:

الزاويةsin⁡\sincos⁡\costan⁡\tan
00001100
π6\frac{\pi}{6} (30°)12\frac{1}{2}32\frac{\sqrt{3}}{2}13\frac{1}{\sqrt{3}}
π4\frac{\pi}{4} (45°)22\frac{\sqrt{2}}{2}22\frac{\sqrt{2}}{2}11
π3\frac{\pi}{3} (60°)32\frac{\sqrt{3}}{2}12\frac{1}{2}3\sqrt{3}
π2\frac{\pi}{2} (90°)1100غير معرّف

الطريقة 2: الزوايا المرجعية

بالنسبة للزوايا خارج الربع الأول:

  1. أوجد الزاوية المرجعية (الزاوية الحادة إلى المحور xx)
  2. حدّد الإشارة من الربع (قاعدة ASTC: الكل، الجيب، الظل، جيب التمام)

قاعدة ASTC — أي الدوال موجبة:

  • الربع الأول (0° إلى 90°): الكل موجب
  • الربع الثاني (90° إلى 180°): الجيب موجب
  • الربع الثالث (180° إلى 270°): الظل موجب
  • الربع الرابع (270° إلى 360°): جيب التمام موجب

مثال: sin⁡(150°)\sin(150°) — الزاوية المرجعية هي 180°−150°=30°180° - 150° = 30°. في الربع الثاني، الجيب موجب: sin⁡(150°)=+sin⁡(30°)=12\sin(150°) = +\sin(30°) = \frac{1}{2}.

الطريقة 3: صيغ المجموع والفرق

بالنسبة للزوايا غير القياسية، فكّك إلى زوايا معروفة:

sin⁡(A±B)=sin⁡Acos⁡B±cos⁡Asin⁡B\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B
cos⁡(A±B)=cos⁡Acos⁡B∓sin⁡Asin⁡B\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B
tan⁡(A±B)=tan⁡A±tan⁡B1∓tan⁡Atan⁡B\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}

مثال: cos⁡(75°)=cos⁡(45°+30°)=cos⁡45°cos⁡30°−sin⁡45°sin⁡30°=6−24\cos(75°) = \cos(45° + 30°) = \cos 45° \cos 30° - \sin 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

الطريقة 4: تحويلات الرسم البياني

بالنسبة لـ y=Asin⁡(Bx+C)+Dy = A\sin(Bx + C) + D:

  • ∣A∣|A| = السعة
  • 2π∣B∣\frac{2\pi}{|B|} = الدورة
  • −CB-\frac{C}{B} = الإزاحة الطورية
  • DD = الإزاحة الرأسية

المقارنة: متى تستخدم كل طريقة

الطريقةالأفضل لـالمؤشر الأساسي
دائرة الوحدةالزوايا القياسيةمضاعفات 30°، 45°، 60°
الزاوية المرجعيةأي ربعزاوية > 90° أو سالبة
المجموع/الفرققيم دقيقة غير قياسيةالزاوية = مجموع زوايا قياسية
الحاسبةتقريبات عشريةزوايا اعتباطية

أخطاء شائعة يجب تجنبها

  • إشارة ربع خاطئة: cos⁡(120°)=−12\cos(120°) = -\frac{1}{2}، وليس +12+\frac{1}{2}. تحقق دائمًا من أي ربع يحدد الإشارة.
  • الخلط بين الدرجات والراديان: sin⁡(π)=0\sin(\pi) = 0 (راديان)، لكن sin⁡(180)≈−0.80\sin(180) \approx -0.80 إذا فُسّر كـ 180 راديان. كن متسقًا مع الوحدات.
  • نسيان أن الظل غير معرّف: tan⁡(90°)\tan(90°) و tan⁡(270°)\tan(270°) غير معرّفين (خطوط مقاربة رأسية)، وليسا صفرًا أو ما لا نهاية.
  • تطبيق خاطئ لصيغة المجموع: sin⁡(A+B)≠sin⁡A+sin⁡B\sin(A + B) \neq \sin A + \sin B. يجب أن تستخدم الفك الصحيح.
  • أخطاء الزاوية المرجعية: تُقاس الزاوية المرجعية دائمًا إلى المحور xx (وليس المحور yy)، وهي دائمًا موجبة وحادة.

Examples

Step 1: 5π6\frac{5\pi}{6} في الربع الثاني (بين π2\frac{\pi}{2} و π\pi)
Step 2: الزاوية المرجعية: π−5π6=π6\pi - \frac{5\pi}{6} = \frac{\pi}{6}
Step 3: الجيب موجب في الربع الثاني: sin⁡5π6=+sin⁡π6=12\sin\frac{5\pi}{6} = +\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}
Answer: 12\frac{1}{2}

Step 1: 315°315° في الربع الرابع (بين 270°270° و 360°360°)
Step 2: الزاوية المرجعية: 360°−315°=45°360° - 315° = 45°
Step 3: جيب التمام موجب في الربع الرابع: cos⁡(315°)=+cos⁡(45°)=22\cos(315°) = +\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}
Answer: 22\frac{\sqrt{2}}{2}

Step 1: 2π3\frac{2\pi}{3} في الربع الثاني (بين π2\frac{\pi}{2} و π\pi)
Step 2: الزاوية المرجعية: π−2π3=π3\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}
Step 3: الظل سالب في الربع الثاني: tan⁡2π3=−tan⁡π3=−3\tan\frac{2\pi}{3} = -\tan\frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}
Answer: −3-\sqrt{3}

Frequently Asked Questions

دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها 1 مركزها نقطة الأصل. لأي زاوية theta، الإحداثي x للنقطة على الدائرة هو cos(theta) والإحداثي y هو sin(theta). توفّر طريقة لتعريف الدوال المثلثية لجميع الزوايا، وليس فقط تلك الموجودة في المثلثات القائمة.

ASTC (تُذكر أحيانًا بـ 'All Students Take Calculus') تخبرك أي الدوال المثلثية موجبة في كل ربع. في الربع الأول كلها موجبة، في الثاني الجيب فقط، في الثالث الظل فقط، وفي الرابع جيب التمام فقط. الدوال الأخرى سالبة.

في مثلث قائم: الجيب هو المقابل على الوتر، جيب التمام هو المجاور على الوتر، والظل هو المقابل على المجاور (أو بالمكافئ sin/cos). تقيس نسبًا مختلفة من المثلث نفسه ولها رسوم بيانية ودورات ومديات مختلفة.

اضرب الدرجات في pi/180 للحصول على الراديان. اضرب الراديان في 180/pi للحصول على الدرجات. التكافؤات الأساسية: 180 درجة = pi راديان، 90 درجة = pi/2، 360 درجة = 2pi.

Related Solvers

حاسبة حساب المثلثاتحاسبة الدوال المثلثية العكسيةحاسبة المشتقاتحاسبة التكامل
Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving