حقيبة النجاة للمتطابقات المثلثية

توجد عشرات المتطابقات المثلثية، لكن في الممارسة العملية لا تحتاج إلى حفظ سوى نحو اثنتي عشرة منها — وما تبقّى يمكن اشتقاقه في ثوانٍ منها. هذه الصفحة هي حقيبة النجاة: كل متطابقة تستحق مكانها، مع أمثلة محلولة قصيرة لكل منها.

الثلاثي الفيثاغوري

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$

الأولى هي المتطابقة الأكثر استخدامًا في كل الرياضيات. أما الاثنتان الأخريان فيُحصل عليهما بالقسمة على $\cos^2$ أو $\sin^2$.

صيغ الجمع والفرق

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta$
$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta$

عبارة مساعدة للتذكر بالنسبة لجيب التمام: "جتا جتا ناقص جا جا" مع إشارة معاكسة — وجيب الجمع هو "جا جتا زائد جتا جا" مع إشارة مماثلة.

صيغ الزاوية المضاعفة

عوّض $\alpha = \beta = \theta$ في صيغ الجمع:

$\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$
$\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 1 - 2\sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1$
$\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

توجد ثلاث صيغ لنسخة جيب التمام بسبب المتطابقة الفيثاغورية. اختر الصيغة التي تطابق بقية تعبيرك.

صيغ نصف الزاوية

بحلّ صيغة الزاوية المضاعفة لجيب التمام بالنسبة لـ $\sin^2$ و$\cos^2$ نحصل على:

$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}, \quad \cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$

هاتان هما متطابقتا خفض الأس — وهما السبب في أن $\int \sin^2 x \, dx$ يصبح أوّليًا.

مثال محلول: التبسيط

بسّط $\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)}$.

1. البسط: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$.
2. المقام: $1 + \cos(2x) = 1 + (2\cos^2 x - 1) = 2\cos^2 x$.
3. خارج القسمة: $\frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$.

ينهار التعبير المعقّد بأكمله إلى $\tan x$.

أخطاء شائعة

• أخطاء الإشارة في صيغ الجمع — اكتب الصيغة كاملةً، ولا تعتمد على الذاكرة في منتصف المسألة.
• $\sin^2\theta$ تعني $(\sin\theta)^2$، وليست $\sin(\sin\theta)$.
• نسيان أن $2\theta$ هي الزاوية، وليست ضعف القيمة — $\sin(2 \cdot 30°) = \sin 60°$، وليست $2\sin 30°$.

جرّب باستخدام حلّال علم المثلثات بالذكاء الاصطناعي

يأخذ حلّال علم المثلثات أي تعبير ويطبّق كل هذه المتطابقات لتبسيطه أو حلّه.

مراجع ذات صلة:

• حاسبة التبسيط — الأفكار نفسها في التبسيط، بنكهة كثيرات الحدود
• حاسبة التكامل — خفض الأس بالغ الأهمية لتكاملات الدوال المثلثية
• حاسبة المتسلسلات — متسلسلات تايلور لـ sin وcos تستخدمها مباشرةً