AI Math
افتح التطبيق

حاسبة الدوال المثلثية العكسية

حساب arcsin و arccos و arctan مع حلول خطوة بخطوة

اسحب وأفلت أو انقر لإضافة صور أو ملف PDF

∑Math Input
arcsin(1/2)
arccos(-sqrt(2)/2)
arctan(sqrt(3))
sin(arccos(3/5))

ما هي الدوال المثلثية العكسية؟

الدوال المثلثية العكسية تعكس الدوال المثلثية القياسية. بالنظر إلى نسبة، تُرجِع الزاوية:

arcsin⁡(x)=θ  ⟺  sin⁡(θ)=x\arcsin(x) = \theta \iff \sin(\theta) = x
arccos⁡(x)=θ  ⟺  cos⁡(θ)=x\arccos(x) = \theta \iff \cos(\theta) = x
arctan⁡(x)=θ  ⟺  tan⁡(θ)=x\arctan(x) = \theta \iff \tan(\theta) = x

بما أن الدوال المثلثية ليست أحادية، نقيّد مجالاتها لتعريف دوال عكسية صحيحة:

الدالةالمجالالمدى (القيم الأساسية)
arcsin⁡(x)\arcsin(x)[−1,1][-1, 1][−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
arccos⁡(x)\arccos(x)[−1,1][-1, 1][0,π][0, \pi]
arctan⁡(x)\arctan(x)(−∞,∞)(-\infty, \infty)(−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

رموز بديلة: sin⁡−1(x)\sin^{-1}(x)، cos⁡−1(x)\cos^{-1}(x)، tan⁡−1(x)\tan^{-1}(x) (ملاحظة: sin⁡−1(x)≠1sin⁡x\sin^{-1}(x) \neq \frac{1}{\sin x}).

العلاقات الأساسية:

  • arcsin⁡(x)+arccos⁡(x)=π2\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} لكل x∈[−1,1]x \in [-1, 1]
  • arctan⁡(x)+arccot(x)=π2\arctan(x) + \text{arccot}(x) = \frac{\pi}{2} لكل xx

تظهر الدوال المثلثية العكسية في التكامل (∫11+x2 dx=arctan⁡x+C\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C)، والهندسة، والملاحة، والفيزياء.

كيفية حساب الدوال المثلثية العكسية

الطريقة 1: استخدام القيم المعروفة

بالنسبة للقيم القياسية، استخدم دائرة الوحدة بشكل عكسي:

arcsin⁡(12)=π6because sin⁡π6=12\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \quad \text{because } \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}

القيم الدقيقة الشائعة:

المدخلarcsin⁡\arcsinarccos⁡\arccosarctan⁡\arctan
0000π2\frac{\pi}{2}00
12\frac{1}{2}π6\frac{\pi}{6}π3\frac{\pi}{3}—
22\frac{\sqrt{2}}{2}π4\frac{\pi}{4}π4\frac{\pi}{4}—
32\frac{\sqrt{3}}{2}π3\frac{\pi}{3}π6\frac{\pi}{6}—
11π2\frac{\pi}{2}00π4\frac{\pi}{4}
3\sqrt{3}——π3\frac{\pi}{3}

الطريقة 2: طريقة المثلث القائم

لحساب تركيبات مثل cos⁡(arcsin⁡(35))\cos(\arcsin(\frac{3}{5})):

  1. ضع θ=arcsin⁡(35)\theta = \arcsin(\frac{3}{5})، إذًا sin⁡θ=35\sin\theta = \frac{3}{5}
  2. ارسم مثلثًا قائمًا: المقابل =3= 3، الوتر =5= 5
  3. أوجد المجاور =25−9=4= \sqrt{25 - 9} = 4 (نظرية فيثاغورس)
  4. إذًا cos⁡θ=45\cos\theta = \frac{4}{5}

الطريقة 3: المتطابقات الجبرية

متطابقات مفيدة للتبسيط:

sin⁡(arccos⁡x)=1−x2\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}
cos⁡(arcsin⁡x)=1−x2\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}
tan⁡(arcsin⁡x)=x1−x2\tan(\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}
sin⁡(arctan⁡x)=x1+x2\sin(\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}
cos⁡(arctan⁡x)=11+x2\cos(\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}

الطريقة 4: مشتقات الدوال المثلثية العكسية

هذه ضرورية للتفاضل والتكامل:

ddxarcsin⁡x=11−x2\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
ddxarccos⁡x=−11−x2\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
ddxarctan⁡x=11+x2\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}

مقارنة الأساليب

الطريقةالأفضل لـالمؤشر الأساسي
القيم المعروفةالنسب القياسيةالمدخل هو 0,12,22,32,10, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1
المثلث القائمالتركيباتتعابير من نوع cos⁡(arcsin⁡(⋅))\cos(\arcsin(\cdot))
المتطابقاتالتبسيط الجبريالحاجة لإزالة الدالة المثلثية العكسية
الحاسبةالأعداد العشرية غير القياسيةلا صورة دقيقة متوقعة

أخطاء شائعة يجب تجنبها

  • الخلط بين sin⁡−1(x)\sin^{-1}(x) و 1sin⁡x\frac{1}{\sin x}: الرمز sin⁡−1(x)\sin^{-1}(x) يعني arcsin، وليس قاطع التمام. استخدم السياق أو فضّل رمز "arc" لتجنب الالتباس.
  • تجاهل مدى القيم الأساسية: arcsin⁡(−12)=−π6\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}، وليس 11π6\frac{11\pi}{6}. يجب أن تكون الإجابة في المدى المعرّف [−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}].
  • تطبيق الاختزال بشكل خاطئ: sin⁡(arcsin⁡x)=x\sin(\arcsin x) = x لـ x∈[−1,1]x \in [-1,1]، لكن arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x) = x فقط عندما x∈[−π2,π2]x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]. خارج هذا المدى، تحصل على الزاوية المرجعية بالإشارة المناسبة.
  • أخطاء المجال: arcsin⁡(2)\arcsin(2) و arccos⁡(−3)\arccos(-3) غير معرّفتين في الأعداد الحقيقية لأن مجاليهما [−1,1][-1, 1].
  • إشارة خاطئة في خطوة فيثاغورس: عند استخدام طريقة المثلث القائم، تأكد من أخذ الإشارة الصحيحة بناءً على الربع الذي يستلزمه مدى القيم الأساسية.

Examples

Step 1: نحتاج θ∈[0,π]\theta \in [0, \pi] بحيث cos⁡θ=−32\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}
Step 2: نعلم أن cos⁡π6=32\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}. بما أن جيب التمام سالب، فإن θ\theta في الربع الثاني
Step 3: θ=π−π6=5π6\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}
Answer: 5π6\frac{5\pi}{6}

Step 1: ضع θ=arctan⁡43\theta = \arctan\frac{4}{3}، إذًا tan⁡θ=43\tan\theta = \frac{4}{3} مع θ∈(−π2,π2)\theta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})
Step 2: ارسم مثلثًا قائمًا: المقابل =4= 4، المجاور =3= 3، الوتر =16+9=5= \sqrt{16 + 9} = 5
Step 3: sin⁡θ=oppositehypotenuse=45\sin\theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} = \frac{4}{5}
Answer: 45\frac{4}{5}

Step 1: أولًا احسب sin⁡5π4\sin\frac{5\pi}{4}. هذه الزاوية في الربع الثالث بزاوية مرجعية π4\frac{\pi}{4}: sin⁡5π4=−22\sin\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}
Step 2: الآن أوجد arcsin⁡(−22)\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}): نحتاج θ∈[−π2,π2]\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] مع sin⁡θ=−22\sin\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}
Step 3: θ=−π4\theta = -\frac{\pi}{4} (في الربع الرابع من المدى المقيّد)
Answer: −π4-\frac{\pi}{4}

Frequently Asked Questions

Arcsin(x) يجيب عن 'ما الزاوية التي جيبها x؟' وبالمثل لـ arccos و arctan. وهي العمليات العكسية لـ sin و cos و tan. على سبيل المثال، arcsin(1/2) = 30 درجة (أو pi/6 راديان) لأن sin(30 درجة) = 1/2.

لأن الجيب وجيب التمام والظل دورية، تقابل كل قيمة مخرجة عددًا لا نهائيًا من الزوايا. لجعل العكس دالة صحيحة (مخرج واحد لكل مدخل)، نقيّد إلى مدى قيم أساسية. لـ arcsin هذا [-pi/2, pi/2]، ولـ arccos هو [0, pi]، ولـ arctan هو (-pi/2, pi/2).

لا. sin^(-1)(x) تعني arcsin(x)، الدالة العكسية. المقلوب 1/sin(x) يُكتب csc(x) (قاطع التمام). هذا مصدر شائع للالتباس بسبب رمز الأس الغامض.

Arcsin و arccos تقبلان فقط مدخلات بين -1 و 1 شاملة، لأن الجيب وجيب التمام لا يتجاوزان تلك الحدود أبدًا. Arctan يقبل أي عدد حقيقي كمدخل لأن الظل يمكن أن ينتج أي قيمة حقيقية.

Related Solvers

حاسبة حساب المثلثاتحاسبة الجيب والجيب التمام والظلحاسبة المشتقاتحاسبة التكامل
Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving