حاسبة التكامل

التكامل مفهوم أساسي في التفاضل والتكامل يمثّل تراكم الكميات. هناك نوعان رئيسيان:

التكامل غير المحدد (المشتق العكسي)

التكامل غير المحدد لـ $f(x)$ هو عائلة من الدوال $F(x) + C$ بحيث $F'(x) = f(x)$:

$\int f(x)\,dx = F(x) + C$

حيث $C$ هو ثابت التكامل.

التكامل المحدد

التكامل المحدد يحسب المساحة الصافية ذات الإشارة تحت المنحنى $f(x)$ من $a$ إلى $b$:

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

تُعرف هذه العلاقة بـ النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل، التي تربط الاشتقاق والتكامل.

هندسيًا، يمثّل التكامل المحدد المساحة بين الدالة والمحور $x$ على الفترة $[a, b]$. المساحات فوق المحور موجبة، والمساحات تحته سالبة.

للتكاملات تطبيقات واسعة في الفيزياء (الشغل والإزاحة)، والهندسة (معالجة الإشارات)، والاحتمال (القيم المتوقعة)، والاقتصاد (فائض المستهلك).

قواعد التكامل الأساسية

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$

$\int \cos x\,dx = \sin x + C$

الطريقة 1: التعويض (تعويض u)

تُستخدم عندما تحتوي الدالة على دالة مركبة. ضع $u = g(x)$، ثم $du = g'(x)\,dx$:

$\int f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$

مثال: $\int 2x \cdot e^{x^2}\,dx$. ضع $u = x^2$، $du = 2x\,dx$، فيصبح التكامل $\int e^u\,du = e^{x^2} + C$.

الطريقة 2: التكامل بالتجزئة

مبنية على قاعدة الضرب للمشتقات:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

اختر $u$ و $dv$ باستخدام قاعدة LIATE (لوغاريتمية، مثلثية عكسية، جبرية، مثلثية، أسية).

مثال: $\int x \cdot e^x\,dx$. ضع $u = x$، $dv = e^x\,dx$. إذًا $du = dx$، $v = e^x$. النتيجة: $xe^x - e^x + C$.

الطريقة 3: الكسور الجزئية

بالنسبة للدوال النسبية $\frac{P(x)}{Q(x)}$، فكّك إلى كسور أبسط:

$\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \int \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right)dx = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C$

الطريقة 4: التعويض المثلثي

بالنسبة للدوال التي تتضمن $\sqrt{a^2 - x^2}$ أو $\sqrt{a^2 + x^2}$ أو $\sqrt{x^2 - a^2}$:

مقارنة الطرق

• نسيان ثابت التكامل: كل تكامل غير محدد يجب أن يتضمن $+ C$. المشتق العكسي هو عائلة من الدوال.
• تطبيق خاطئ لقاعدة القوة: $\int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C$، وليس $\frac{x^0}{0}$. قاعدة القوة $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ لا تنطبق عندما $n = -1$.
• أخطاء الإشارة مع التكاملات المثلثية: $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$ (إشارة سالبة). $\int \cos x\,dx = \sin x + C$ (إشارة موجبة).
• نسيان التعويض الرجعي: عند استخدام تعويض $u$، حوّل دائمًا الإجابة النهائية رجوعًا إلى المتغير الأصلي $x$.
• حدود خاطئة في التكاملات المحددة: عند استخدام التعويض في التكاملات المحددة، إما غيّر الحدود لتطابق المتغير الجديد أو عوّض رجوعًا قبل الحساب.