حاسبة المشتقات

المشتقة تقيس معدل التغير اللحظي لدالة. بالنسبة لدالة $f(x)$، تُعرّف المشتقة $f'(x)$ كالتالي:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

هندسيًا، تساوي المشتقة عند نقطة ميل المماس لمنحنى الدالة عند تلك النقطة.

الرموز الشائعة:

• $f'(x)$ — رمز لاغرانج
• $\frac{dy}{dx}$ — رمز لايبنتز
• $\dot{y}$ — رمز نيوتن (يُستخدم في الفيزياء)

قاعدة القوة

$\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$

قاعدة المجموع / الفرق

$\frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)$

قاعدة الضرب

$\frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

قاعدة القسمة

$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$

قاعدة السلسلة

$\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

المشتقات الشائعة

• نسيان قاعدة السلسلة: عند اشتقاق دوال مركبة مثل $\sin(3x)$، لا تنسَ الضرب في المشتقة الداخلية ($3$).
• أخطاء إشارة قاعدة القوة: $\frac{d}{dx} x^{-2} = -2x^{-3}$، وليس $-2x^{-1}$.
• الخلط بين قاعدتي الضرب والسلسلة: $(fg)' = f'g + fg'$ هي قاعدة الضرب؛ $(f \circ g)' = f'(g) \cdot g'$ هي قاعدة السلسلة.
• نسيان الثوابت: مشتقة الثابت هي $0$، وليست $1$.