حاسبة الاحتمال

الاحتمال يقيس مدى رجحان وقوع حدث ما. يُعبَّر عنه بعدد بين $0$ و $1$ (أو بالمكافئ، $0\%$ إلى $100\%$).

$P(A) = \frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of possible outcomes}}$

المفاهيم الأساسية

• فضاء العينة $S$: مجموعة جميع النواتج الممكنة
• الحدث $A$: مجموعة جزئية من فضاء العينة
• المتممة $A'$: الحدث بأن $A$ لا يقع؛ $P(A') = 1 - P(A)$

أنواع الاحتمال

• الاحتمال النظري: مبني على التفكير في نواتج متساوية الاحتمال (مثلًا، عملة عادلة لها $P(\text{heads}) = \frac{1}{2}$)
• الاحتمال التجريبي: مبني على التكرارات الملاحَظة من التجارب
• الاحتمال الذاتي: مبني على الحكم الشخصي أو الخبرة

قواعد الاحتمال

• $0 \le P(A) \le 1$ لأي حدث $A$
• $P(S) = 1$ (لا بد أن يحدث شيء)
• $P(\emptyset) = 0$ (الحدث المستحيل)

الاحتمال الأساسي

بالنسبة للنواتج متساوية الاحتمال:

$P(A) = \frac{|A|}{|S|} = \frac{\text{favorable outcomes}}{\text{total outcomes}}$

قاعدة الجمع (أو)

بالنسبة لاحتمال وقوع الحدث $A$ أو الحدث $B$:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

إذا كان $A$ و $B$ متنافيين (لا يمكن وقوعهما معًا):

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

قاعدة الضرب (و)

بالنسبة لاحتمال وقوع كل من الحدث $A$ و الحدث $B$:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

إذا كان $A$ و $B$ مستقلين:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

الاحتمال الشرطي

احتمال $A$ بشرط وقوع $B$:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

الاحتمال ذو الحدين

احتمال $k$ نجاحًا بالضبط في $n$ محاولة مستقلة، لكل منها احتمال $p$:

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

حيث $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

جدول الملخص

• افتراض أن الأحداث مستقلة بينما هي ليست كذلك — سحب البطاقات دون إرجاع يغيّر الاحتمالات بعد كل سحبة.
• نسيان طرح التداخل في قاعدة الجمع — عندما يمكن وقوع الأحداث معًا، يجب طرح $P(A \cap B)$ لتجنب العد المزدوج.
• الخلط بين "و" و "أو" — "و" تعني وقوع كلا الحدثين (اضرب الاحتمالات للأحداث المستقلة)؛ "أو" تعني وقوع واحد على الأقل (اجمع الاحتمالات).
• عدم اعتبار جميع النواتج الممكنة في فضاء العينة — تأكد من عد الإجمالي بشكل صحيح، خاصةً مع التوافيق والتباديل.
• الخلط في اتجاه الاحتمال الشرطي — $P(A|B)$ ليس نفس $P(B|A)$.