حاسبة المتوسط والوسيط والمنوال

المتوسط والوسيط والمنوال هي مقاييس النزعة المركزية الثلاثة الأساسية في الإحصاء. يصف كل منها مركز مجموعة بيانات بطريقة مختلفة.

المتوسط (المعدل الحسابي)

المتوسط هو مجموع جميع القيم مقسومًا على عدد القيم:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$

المتوسط حساس للقيم المتطرفة — قيمة واحدة كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا يمكن أن تزيح المتوسط بشكل ملحوظ.

الوسيط

الوسيط هو القيمة الوسطى عند ترتيب البيانات تصاعديًا. بالنسبة لـ $n$ من نقاط البيانات:

• إذا كان $n$ فرديًا: الوسيط $= x_{\frac{n+1}{2}}$
• إذا كان $n$ زوجيًا: الوسيط $= \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2}$

الوسيط متين أمام القيم المتطرفة ويُفضّل للتوزيعات المنحرفة.

المنوال

المنوال هو القيمة الأكثر تكرارًا. يمكن أن تكون مجموعة البيانات:

• أحادية المنوال — منوال واحد
• ثنائية المنوال — منوالان
• متعددة المنوال — أكثر من منوالين
• بلا منوال — جميع القيم تظهر بنفس التكرار

هذه المقاييس الثلاثة معًا تعطي صورة شاملة عن مكان "مركز" مجموعة البيانات.

حساب المتوسط

1. اجمع جميع قيم البيانات معًا: $\sum x_i$
2. اقسم على العدد الكلي $n$
3. النتيجة: $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$

المتوسط الموزون: عندما يكون للقيم أوزان مختلفة:

$\bar{x}_w = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$

حساب الوسيط

1. رتّب البيانات تصاعديًا
2. عُدّ عدد القيم $n$
3. إذا كان $n$ فرديًا: الوسيط هو القيمة في الموضع $\frac{n+1}{2}$
4. إذا كان $n$ زوجيًا: الوسيط هو متوسط القيمتين في الموضعين $\frac{n}{2}$ و $\frac{n}{2}+1$

حساب المنوال

1. عُدّ تكرار كل قيمة
2. حدّد القيمة (القيم) ذات أعلى تكرار
3. إذا ظهرت جميع القيم مرة واحدة، فلا يوجد منوال

جدول المقارنة

متى تستخدم كل مقياس

• المتوسط: استخدمه للبيانات الموزعة طبيعيًا بدون قيم متطرفة شديدة (مثلًا، درجات اختبار في صف كبير).
• الوسيط: استخدمه للبيانات المنحرفة أو عند وجود قيم متطرفة (مثلًا، دخل الأسر).
• المنوال: استخدمه للبيانات الفئوية أو لإيجاد القيمة الأكثر شيوعًا (مثلًا، مقاس الحذاء الأكثر رواجًا).

العلاقة بين المتوسط والوسيط والمنوال

بالنسبة لتوزيع متماثل تمامًا: المتوسط $=$ الوسيط $=$ المنوال.

بالنسبة لتوزيع منحرف يمينًا: المتوسط $>$ الوسيط $>$ المنوال.

بالنسبة لتوزيع منحرف يسارًا: المتوسط $<$ الوسيط $<$ المنوال.

• نسيان ترتيب البيانات قبل إيجاد الوسيط — يتطلب الوسيط بيانات مرتبة؛ استخدام بيانات غير مرتبة يعطي نتيجة خاطئة.
• الخلط بين المتوسط والوسيط للبيانات المنحرفة — ينجذب المتوسط نحو القيم المتطرفة، لذا للتوزيعات المنحرفة يكون الوسيط مقياسًا أفضل للمركز.
• ادعاء "لا منوال" عند وجود تكرارات متعادلة — إذا تشاركت قيم متعددة في أعلى تكرار، فكلها منوالات (ثنائية أو متعددة المنوال).
• القسمة على العدد الخاطئ — تأكد من القسمة على العدد الكلي لنقاط البيانات، وليس عدد القيم المتمايزة.
• تضمين القيم المتطرفة دون اعتبار — تحقق دائمًا من القيم الشديدة التي قد تجعل المتوسط مضللًا.