أساسيات الاحتمالات: القواعد والتوافيق والأمثلة

يقيس الاحتمال حالة عدم اليقين. والخبر السار: معظم مسائل الواجبات تتلخّص في مجموعة صغيرة من القواعد واستعداد للعدّ بعناية. يغطّي هذا الدليل الأساس الذي تحتاجه قبل الانتقال إلى التوزيعات أو اختبار الفرضيات أو الاستدلال البايزي.

ماذا يعني "الاحتمال"

احتمال وقوع الحدث $A$ هو

$P(A) = \frac{\text{النتائج المواتية}}{\text{مجموع النتائج}}$

بافتراض أن جميع النتائج متساوية الاحتمال. $P(A) \in [0, 1]$:

• $0$ = مستحيل.
• $1$ = مؤكَّد.
• $0.5$ = رمية عملة.

في حالة النتائج غير المتساوية الاحتمال، تُسنِد وزنًا لكل نتيجة (وهذا ما يفعله توزيع الاحتمال).

القواعد الأساسية الثلاث

قاعدة الجمع (احتمال A أو B)

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

اطرح التقاطع كي لا تَعُدّه مرتين. إذا كان $A$ و$B$ متنافيَين (لا يمكن أن يقعا معًا)، فإن التقاطع يساوي صفرًا.

مثال: عند سحب بطاقة من مجموعة مكوّنة من 52 بطاقة، $P(\text{ملك أو قلب}) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13$. (بطاقة واحدة هي ملك وقلب معًا، ومن هنا جاء الطرح.)

قاعدة الضرب (احتمال A و B)

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$

إذا كان $A$ و$B$ مستقلَّين (لا يؤثّر أحدهما في الآخر)، فإن $P(B | A) = P(B)$، ما يبسّطها إلى $P(A) \cdot P(B)$.

مثال: عند رمي نردَين، $P(\text{كلاهما 6}) = 1/6 \cdot 1/6 = 1/36$. (الرميات مستقلة.)

الاحتمال الشرطي

$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

احتمال وقوع $B$ بشرط أن $A$ قد وقع. وهو أساس مبرهنة بايز ومعظم الإحصاء الاستدلالي.

مثال: البطاقة المسحوبة هي بطاقة صورة. ما احتمال أن تكون ملكًا؟

• $P(\text{ملك وبطاقة صورة}) = 4/52$.
• $P(\text{بطاقة صورة}) = 12/52$.
• $P(\text{ملك | صورة}) = (4/52) / (12/52) = 4/12 = 1/3$.

العدّ: التباديل والتوافيق

لاختيار $r$ من $n$ عنصرًا:

• التباديل (الترتيب مهم): $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$.
• التوافيق (الترتيب غير مهم): $C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$.

القرار هو "هل يؤدّي تبديل عنصرَين مختارَين إلى نتيجة مختلفة؟":

• نعم (مثل ميدالية ذهبية مقابل فضية) ← تبديل.
• لا (مثل اختيار لجنة من 5 أشخاص) ← توفيق.

مثال محلول: اليانصيب

اختر 6 أرقام من 49. الترتيب على تذكرتك غير مهم — توفيق.

$\binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13,983,816$

إذًا $P(\text{الفوز بجائزة كبرى من 6 أرقام}) = 1/13{,}983{,}816 \approx 7.15 \times 10^{-8}$.

المستقل مقابل المتنافي (لا تخلط بينهما!)

• مستقل: معرفة $A$ لا تغيّر $P(B)$. رميات العملة مستقلة.
• متنافٍ: لا يمكن أن يقع $A$ و$B$ معًا. رمية النرد لا يمكن أن تكون 1 و2 في آنٍ واحد.

يمكن لحدثَين أن يكونا أحدهما أو الآخر أو كليهما أو لا شيء منهما. وهما ليسا المفهوم نفسه، رغم شيوع الخلط بينهما.

الأخطاء الشائعة

• مغالطة المقامر: "حصلت على 5 صور متتالية، فلا بد أن التالية كتابة." رميات العملة مستقلة — الماضي لا يغيّر احتمال المستقبل.
• جمع احتمالات غير متنافية دون طرح التقاطع. $P(\text{ملك}) + P(\text{قلب}) \neq P(\text{ملك أو قلب})$.
• الخلط بين $P(A | B)$ و$P(B | A)$. مغالطة المدّعي العام الكلاسيكية: "بشرط أن المتهم بريء، فإن احتمال هذا الدليل صغير؛ لذا بشرط وجود الدليل، فإن احتمال البراءة صغير." خطأ منطقيًا دون تطبيق مبرهنة بايز.

جرّبها بنفسك

أدخِل أي مسألة احتمالية في حاسبة الاحتمالات — جمع وضرب واحتمال شرطي مع التوافيق. يرشدك الذكاء الاصطناعي عبر كل خطوة.

ذات صلة:

• المسرد: مبرهنة بايز
• مقارنة: التبديل مقابل التوفيق
• ورقة مرجعية لصيغ الإحصاء