شرح المتباينات: الخطية والمركّبة والتربيعية

تبدو المتباينات مطابقة تمامًا للمعادلات حتى تصل إلى القاعدة التي تنغّص عليك ليلك: عندما تضرب أو تقسم على عدد سالب، ينقلب اتجاه المتباينة. يستعرض هذا الدليل المتباينات الخطية والمركّبة والتربيعية مع الأنماط التي تحلّ 95٪ من الواجبات.

القاعدة الوحيدة التي ينساها الجميع

في المعادلات: كل عملية تحافظ على المساواة. $5 = 5$ تستلزم $5 \cdot (-1) = 5 \cdot (-1)$ — يُؤخذ المعكوس الجمعي لكلا الطرفين بالتساوي، فتبقى المساواة قائمة.

أما في المتباينات: ضرب أو قسمة كلا الطرفين على عدد سالب يقلب الاتجاه. العبارة $5 > 3$ صحيحة، لكن اضرب الطرفين في $-1$ فنحصل على $-5 > -3$، وهي خاطئة. العبارة المصحَّحة هي $-5 < -3$.

هذه القاعدة الواحدة هي مصدر معظم أخطاء المتباينات. اجعلها جزءًا من ردود أفعالك التلقائية:

• الجمع/الطرح بأي شيء → لا انقلاب.
• الضرب/القسمة على عدد موجب → لا انقلاب.
• الضرب/القسمة على عدد سالب → اقلب المتباينة.

المتباينات الخطية

حلّها كما تحلّ المعادلات الخطية، مع الانتباه إلى انقلاب الإشارة.

المثال 1: $3x + 5 > 14$.

• اطرح 5: $3x > 9$.
• اقسم على $3$ (موجب، لا انقلاب): $x > 3$.
• مجموعة الحل: $(3, \infty)$ — القوس المفتوح يعني أن $x = 3$ غير مشمول.

المثال 2 (مع الانقلاب): $-2x + 7 \leq 1$.

• اطرح 7: $-2x \leq -6$.
• اقسم على $-2$ (سالب — اقلب): $x \geq 3$.
• مجموعة الحل: $[3, \infty)$ — قوس مربع بسبب $\leq$، ويشمل $3$.

المتباينات المركّبة

المتباينة "المركّبة" تربط متباينتين بسيطتين بـ و أو أو.

غالبًا ما تُكتب و كسلسلة واحدة: $-1 < 2x + 3 \leq 7$. أجرِ العمليات على الأجزاء الثلاثة في آنٍ واحد.

• اطرح 3 من الجميع: $-4 < 2x \leq 4$.
• اقسم على 2 من الجميع: $-2 < x \leq 2$.
• الحل: $(-2, 2]$.

تبقى أو كمتباينتين منفصلتين. الحل هو اتحاد مجموعتي الحل الفرديتين:

$x < -3$ أو $x > 5$ → الحل $(-\infty, -3) \cup (5, \infty)$.

المتباينات التربيعية

بالنسبة لـ $x^2 + bx + c > 0$ (أو أي متباينة $\neq 0$):

1. أوجِد جذور $x^2 + bx + c = 0$.
2. ارسم الجذور على خط الأعداد — فهي تقسمه إلى فترات.
3. اختبر نقطة في كل فترة لمعرفة ما إذا كانت العبارة التربيعية موجبة أم سالبة هناك.
4. اختر الفترات المطابقة لاتجاه المتباينة.

مثال: $x^2 - 5x + 6 > 0$.

• التحليل: $(x - 2)(x - 3) > 0$. الجذران عند $x = 2$ و $x = 3$.
• اختبر الفترات:
  • $x = 0$: $(0-2)(0-3) = 6 > 0$ ✓
  • $x = 2.5$: $(0.5)(-0.5) = -0.25 < 0$ ✗
  • $x = 4$: $(2)(1) = 2 > 0$ ✓
• الحل: $(-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

بالنسبة لمتباينات $\leq$ أو $\geq$، اشمل الجذور (فترات مغلقة): $(-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

رسم الحلول على خط الأعداد

• دائرة مفتوحة (○) عند قيمة غير مشمولة ($<$ أو $>$).
• دائرة ممتلئة (●) عند قيمة مشمولة ($\leq$ أو $\geq$).
• سهم يمتد إلى اللانهاية في اتجاه الحل.

المركّبة بـ "و" → قوس بين دائرتين. المركّبة بـ "أو" → شعاعان منفصلان يتجهان إلى الخارج.

المتباينات ذات القيمة المطلقة

$|x - a| < b$ تتفكّك إلى $-b < x - a < b$، أي $a - b < x < a + b$ — فترة محدودة.

$|x - a| > b$ تتفكّك إلى $x - a < -b$ أو $x - a > b$، أي $x < a - b$ أو $x > a + b$ — شعاعان يتجهان إلى الخارج.

أخطاء شائعة

1. نسيان القلب عند القسمة على عدد سالب. أكبر مصدر منفرد للإجابات الخاطئة في المتباينات.
2. تضمين نقاط النهاية بشكل خاطئ. الفرق بين $<$ و $\leq$ مهم — نوع القوس يعتمد عليه.
3. معاملة المركّبة بـ "و" كأنها مساواة. العبارة $-2 < x < 5$ عبارة واحدة؛ لا يمكنك تجزئتها إلى "$x = -2$ أو $x = 5$".
4. حل المتباينات التربيعية كأنها معادلات. جعل $x^2 - 4 > 0$ "مساويًا للصفر" يعطي الجذرين $\pm 2$؛ لكن حل المتباينة ليس $\{-2, 2\}$ بل الفترات بينهما وحولهما.

جرّبها بنفسك

أدخِل أي متباينة (خطية، مركّبة، تربيعية، ذات قيمة مطلقة) في حلّال المتباينات المجاني لدينا — يقلب الذكاء الاصطناعي الإشارات بشكل صحيح ويعرض كل خطوة، إضافةً إلى رسم بياني للحل على خط الأعداد.

مواد ذات صلة:

• مسرد المصطلحات: المتباينة
• مسرد المصطلحات: القيمة المطلقة
• حاسبة المعادلات التربيعية — استخدمها مع نسخة المتباينات