حلّال المتباينات

المتباينة هي عبارة رياضية تقارن بين تعبيرين باستخدام أحد الرموز:

• $<$ (أقل من)
• $>$ (أكبر من)
• $\leq$ (أقل من أو يساوي)
• $\geq$ (أكبر من أو يساوي)

على عكس المعادلات (التي تسأل "ما القيم التي تجعل الطرفين متساويين؟")، تسأل المتباينات "ما القيم التي تجعل أحد الطرفين أكبر (أو أصغر) من الآخر؟"

على سبيل المثال، المتباينة:

$2x - 5 > 3$

تسأل: لأي قيم $x$ يكون $2x - 5$ أكبر من $3$؟

حل المتباينة عادةً ما يكون مجالًا من القيم (فترة)، وليس عددًا واحدًا. غالبًا ما تُعبّر الحلول بـ صيغة الفترة:

• $(a, b)$: جميع القيم المحصورة تمامًا بين $a$ و $b$
• $[a, b]$: جميع القيم من $a$ إلى $b$، شاملة
• $(-\infty, a) \cup (b, \infty)$: جميع القيم الأقل من $a$ أو الأكبر من $b$

المتباينات أساسية في التحسين ومسائل القيود وتحديد مجالات ومدى الدوال.

1. المتباينات الخطية

احلها مثل المعادلة الخطية، مع قاعدة حاسمة واحدة: عكس إشارة المتباينة عند الضرب أو القسمة على عدد سالب.

مثال: حل $2x - 5 > 3$

1. أضف 5: $2x > 8$
2. اقسم على 2: $x > 4$

الحل: $(4, \infty)$

مثال مع عكس الإشارة: حل $-3x + 6 \leq 12$

1. اطرح 6: $-3x \leq 6$
2. اقسم على $-3$ (اعكس!): $x \geq -2$

2. المتباينات التربيعية

حل المعادلة المقابلة أولًا، ثم اختبر الفترات.

مثال: حل $x^2 - 4x - 5 > 0$

1. حلّل: $(x - 5)(x + 1) > 0$
2. النقاط الحرجة: $x = -1$ و $x = 5$
3. اختبر الفترات:
   • $x < -1$: $(-)(-) = (+) > 0$ ✓
   • $-1 < x < 5$: $(-)(+) = (-) < 0$ ✗
   • $x > 5$: $(+)(+) = (+) > 0$ ✓

الحل: $(-\infty, -1) \cup (5, \infty)$

3. المتباينات النسبية

أوجد أين يكون البسط والمقام صفرًا (النقاط الحرجة)، ثم اختبر الإشارة في كل فترة. لا تضرب أبدًا كلا الطرفين في تعبير قد يكون سالبًا.

4. متباينات القيمة المطلقة

• $|x| < a$ تعني $-a < x < a$
• $|x| > a$ تعني $x < -a$ أو $x > a$

5. طريقة جدول الإشارات

بالنسبة لمتباينات كثيرات الحدود/النسبية، ابنِ جدول إشارات يوضح إشارة كل عامل في كل فترة.

• نسيان عكس إشارة المتباينة: عندما تضرب أو تقسم كلا الطرفين على عدد سالب، يجب أن تعكس اتجاه المتباينة.
• تضمين النقاط الحرجة بشكل خاطئ: للمتباينات الصارمة ($<$، $>$)، لا تُضمَّن النقاط الحرجة. أما لـ $\leq$ أو $\geq$، فتُضمَّن.
• الضرب في متغير دون اعتبار إشارته: إذا ضربت كلا الطرفين في $x$، يجب أن تعتبر الحالات حيث $x > 0$ و $x < 0$ بشكل منفصل.
• معالجة المتباينات المركبة بشكل خاطئ: بالنسبة لـ $a < f(x) < b$، حل كلا الجزأين في وقت واحد، وليس بشكل مستقل.
• كتابة الحل بصيغة خاطئة: استخدم الأقواس للمتباينات الصارمة والأقواس المعقوفة للشاملة.