قاعدة السلسلة: متى وكيف تُطبَّق (مع أمثلة)

قاعدة السلسلة هي الأداة الأكثر استخدامًا في الاشتقاق، وأيضًا أكبر مصدر للأخطاء. وبمجرد أن تستوعب نمط "الخارج ثم الداخل"، يمكنك اشتقاق أي دالة مركبة تقريبًا في ثلاثة أسطر. يعرض هذا الدليل النمط، ويستعرض سبعة أمثلة متصاعدة الصعوبة، ويسرد الأخطاء الأربعة الجديرة بالحفظ مسبقًا.

ماذا تقول قاعدة السلسلة

إذا كانت $f$ و $g$ قابلتين للاشتقاق، فإن مشتقة التركيب $f(g(x))$ هي

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x).$

بالكلمات: اشتقّ الدالة الخارجية مقيَّمةً عند الداخلية، ثم اضرب في مشتقة الداخلية. تسميتا "الخارجية" و"الداخلية" غير قابلتين للتفاوض — الخلط بينهما يقلب الجواب.

عبارة مساعِدة مفيدة: قاعدة السلسلة هي "المشتقة الخارجية في المشتقة الداخلية"، لا جمع أبدًا، ولا واحدة فقط.

أمثلة محلولة (سهل → صعب)

مثال 1: $\frac{d}{dx}\sin(2x)$

• الخارجية: $\sin(u)$، الداخلية: $u = 2x$.
• $\frac{d}{du}\sin(u) = \cos(u)$، $\frac{d}{dx}(2x) = 2$.
• النتيجة: $\cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$.

مثال 2: $\frac{d}{dx} e^{x^2}$

• الخارجية: $e^u$، الداخلية: $u = x^2$.
• $\frac{d}{du} e^u = e^u$، $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$.
• النتيجة: $e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$.

مثال 3: $\frac{d}{dx}(3x^2 + 1)^4$

• الخارجية: $u^4$، الداخلية: $u = 3x^2 + 1$.
• $\frac{d}{du} u^4 = 4u^3$، $\frac{d}{dx}(3x^2 + 1) = 6x$.
• النتيجة: $4(3x^2 + 1)^3 \cdot 6x = 24x(3x^2 + 1)^3$.

مثال 4: $\frac{d}{dx}\ln(\cos x)$

• الخارجية: $\ln u$، الداخلية: $u = \cos x$.
• $\frac{d}{du}\ln u = \frac{1}{u}$، $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$.
• النتيجة: $\frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x$.

مثال 5: $\frac{d}{dx}\sqrt{x^2 + 1}$

• أعد كتابتها بالشكل $(x^2 + 1)^{1/2}$.
• الخارجية: $u^{1/2}$، الداخلية: $u = x^2 + 1$.
• المشتقة الخارجية: $\frac{1}{2}u^{-1/2}$. الداخلية: $2x$.
• النتيجة: $\frac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

مثال 6: سلسلة متداخلة — $\frac{d}{dx}\sin(\cos(x^2))$

ثلاث طبقات — طبّق قاعدة السلسلة مرتين.

• الأبعد: $\sin(u)$، الداخلية $u = \cos(x^2)$.
• $\frac{du}{dx} = -\sin(x^2) \cdot 2x$ (قاعدة السلسلة على $\cos(x^2)$).
• النتيجة: $\cos(\cos(x^2)) \cdot (-\sin(x^2)) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)\cos(\cos(x^2))$.

مثال 7: السلسلة + قاعدة الجداء معًا — $\frac{d}{dx}\bigl(x^2 \sin(3x)\bigr)$

• استخدم قاعدة الجداء أولًا: $(fg)' = f'g + fg'$.
• $f = x^2$، $f' = 2x$. $g = \sin(3x)$، بقاعدة السلسلة $g' = 3\cos(3x)$.
• النتيجة: $2x \sin(3x) + x^2 \cdot 3\cos(3x) = 2x\sin(3x) + 3x^2\cos(3x)$.

الأخطاء الأربعة الجديرة بالحفظ

1. نسيان المشتقة الداخلية. كتابة $\frac{d}{dx}\sin(2x) = \cos(2x)$ هي الخطأ الأكثر شيوعًا في قاعدة السلسلة. العامل $2$ إلزامي.
2. اشتقاق الداخل قبل التعويض. $\frac{d}{dx}(3x^2+1)^4$ ليست $4(6x)^3$. المشتقة الخارجية تُقيَّم عند العبارة الداخلية، لا عند المشتقة الداخلية.
3. اعتبار الدالة المتداخلة جداءً. $\sin(2x)$ هو تركيب، لا جداء. استخدم قاعدة السلسلة لا قاعدة الجداء.
4. خطأ في تقويس قوى المثلثات. $\sin^2(x) = (\sin x)^2$ — الخارجية $u^2$، الداخلية $\sin x$. يسهل الخلط مع $\sin(x^2)$ حيث الخارجية $\sin$ والداخلية $x^2$.

عندما تتعثّر: حيلة التعويض

ضع $u = \text{(الجزء الداخلي)}$، أوجد $\frac{dy}{du}$ و $\frac{du}{dx}$، واضرب. حتى عندما تبدو الدالة مرعبة، يعمل هذا التعويض الآلي دائمًا.

جرّب بنفسك

الصق أي دالة مركبة في حاسبة المشتقات المجانية لدينا وشاهد كل تطبيق لقاعدة السلسلة خطوة بخطوة. ادمجها مع قسم ورقة مراجعة قاعدة السلسلة لمرجع سريع أثناء الواجبات.

لمواد ذات صلة أعمق:

• حاسبة النهايات — النهايات تغذّي أساس قاعدة السلسلة
• حاسبة التكاملات — التعويض هو قاعدة السلسلة معكوسة
• مثال محلول: مشتقة sin(2x)
• مثال محلول: مشتقة e^(2x)