解 x：1000 =（35）（0.02）（x − 293.15）+（0.6）（5.67e−8）（0.02）（x⁴ − 293.15⁴）。

Step-by-step solution

1. 1

   把常數收攏成兩個係數。 把對流與輻射的因子各自併起來：

   $35 \times 0.02 = 0.7, \qquad 0.6 \times 5.67\times10^{-8} \times 0.02 = 6.804\times10^{-10}$

   方程式因此成為

   $1000 = 0.7\,(x - 293.15) + 6.804\times10^{-10}\left(x^4 - 293.15^4\right)$

2. 2

   展開成標準形式的四次方程式。 由 $293.15^4 = 7.38515\times10^{9}$，兩項常數貢獻分別是 $0.7 \times 293.15 = 205.205$ 與 $6.804\times10^{-10} \times 7.38515\times10^{9} = 5.0249$：

   $6.804\times10^{-10}\,x^4 + 0.7x - 1210.23 = 0$

3. 3

   不要停在線性估計上——那正是陷阱。 忽略四次項會得到

   $x \approx \frac{1210.23}{0.7} \approx 1728.9$

   但把它代回去就知道為什麼行不通：$6.804\times10^{-10}(1728.9)^4 \approx 6079\ \text{W}$，是整個熱負載的六倍。在那個溫度下輻射項是主導的，而非可忽略，所以 $1728.9\ \text{K}$ 高得離譜。

4. 4

   改用數值方法解這條四次方程式。 當 $x$ 為正時左邊對 $x > 0$ 嚴格遞增（$0.7x$ 與 $x^4$ 都在增加），所以物理上恰有一個根，二分法必定可靠收斂。用 $300$ 與 $5000$ 夾住再二分，得到

   $x \approx 947.04\ \text{K}$

5. 5

   把兩種散熱機制拆開來檢查這個根。 在 $x = 947.04\ \text{K}$ 時：

   $\text{對流} = 0.7(947.04 - 293.15) = 457.7\ \text{W}$

   $\text{輻射} = 6.804\times10^{-10}\left(947.04^4 - 293.15^4\right) = 542.3\ \text{W}$

   而 $457.7 + 542.3 = 1000.0\ \text{W}$，與要求的散熱量相符。輻射承擔了負載的 $54\%$——這也確認了它絕不可能被丟掉。

6. 6

   寫出答案並給它一個物理上的讀法。

   $x \approx 947\ \text{K} \ (\approx 674\ ^\circ\text{C})$

   一般性的啟示：只要一個平衡式同時混有線性的對流項與 $T^4$ 的輻射項，就必須解那條四次方程式，因為輻射成長得太陡，在超溫還不到幾百克耳文時就已經超越對流。