計算 t =（1/3.6）乘上 (1.1 × 9.13) /（10.752 − 9.13 × 9.8 × 0.01 −（0.04985 × 0.2032 × v²)/21.15）由 0 到 7.07 對 v 的積分。

Step-by-step solution

1. 1

   動用任何微積分之前，先把所有常數收攏。 這個被積函數看起來嚇人，只是因為常數還沒乘開。分子：

   $1.1\times 9.13=10.043$

   分母的常數部分：

   $10.752-9.13\times 9.8\times 0.01=10.752-0.89474=9.85726$

   $v^{2}$ 的係數：

   $\frac{0.04985\times 0.2032}{21.15}=\frac{0.01012952}{21.15}=4.78937\times 10^{-4}$

2. 2

   改寫成一眼可辨的標準形式。

   $t=\frac{10.043}{3.6}\int_{0}^{7.07}\frac{dv}{9.85726-4.78937\times 10^{-4}v^{2}}$

   把 $v^{2}$ 的係數從分母提出來，露出平方差的形狀：

   $=\frac{10.043}{3.6\left(4.78937\times 10^{-4}\right)}\int_{0}^{7.07}\frac{dv}{a^{2}-v^{2}},\qquad a=\sqrt{\frac{9.85726}{4.78937\times 10^{-4}}}=143.463$

3. 3

   使用對數形式的反導函數。 部分分式給出

   $\int\frac{dv}{a^{2}-v^{2}}=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+v}{a-v}\right|+C$

   （等價於 $\tfrac1a\operatorname{artanh}\tfrac va$）。積分上限 $7.07$ 遠小於 $a=143.463$，所以整段都有 $a^{2}-v^{2}>0$，被積函數永遠不會發散。

4. 4

   求出定積分的值。

   $\int_{0}^{7.07}\frac{dv}{a^{2}-v^{2}}=\frac{1}{2(143.463)}\ln\frac{143.463+7.07}{143.463-7.07}=\frac{\ln(1.10367)}{286.926}=3.4379\times 10^{-4}$

5. 5

   乘上前面的常數。

   $\frac{10.043}{4.78937\times 10^{-4}}\times 3.4379\times 10^{-4}=20969\times 3.4379\times 10^{-4}=7.2091$

   所以積分本身是 $7.2091$，而

   $t=\frac{7.2091}{3.6}=2.0025$

   $\boxed{t\approx 2.00\ \text{秒}}$

6. 6

   用常數被積函數做估算檢查。 因為 $v$ 最多只到 $7.07$，而 $a=143.5$，$v^{2}$ 這一項對分母的移動最多是 $4.79\times 10^{-4}(7.07)^{2}=0.0239$，相對於 $9.857$ 大約只有 $0.24\%$。把被積函數當成常數 $\tfrac{10.043}{9.85726}=1.01885$，會得到 $t\approx\tfrac{1.01885\times 7.07}{3.6}=2.0009$ 秒，與精確值 $2.0025$ 秒的差距在 $0.1\%$ 以內 ✓。