0/90 平織硼纖維織物平行經紗受載時 Krenchel 因子為 0.5。求它在與經紗夾 31 度受載時的效率因子（取到小數點後三位）。

Step-by-step solution

1. 1

   把題目給的 0° 值當成纖維比例的檢核。 一組纖維方向的 Krenchel 因子是

   $\eta_\theta=\sum_n a_n\cos^{4}\theta_n$

   其中 $a_n$ 是方向 $n$ 上纖維所佔的比例。在 $0^\circ$ 時它給出 $a_0\cos^4 0^\circ+a_{90}\cos^4 90^\circ=a_0$。既然題目說這個值是 $0.5$，這塊織物就是平衡織：$a_0=a_{90}=0.5$。

2. 2

   求出載重方向到每一組纖維的夾角。 以與經紗夾 $31^\circ$ 的方向受載，代表經紗位於 $\theta_0=31^\circ$，而緯紗因為垂直於經紗，落在

   $\theta_{90}=90^\circ-31^\circ=59^\circ$

3. 3

   把總和式寫出來。

   $\eta_\theta=0.5\cos^{4}(31^\circ)+0.5\cos^{4}(59^\circ)$

4. 4

   逐項求值。

   $\cos 31^\circ=0.857167\Rightarrow\cos^{4}31^\circ=0.539837$

   $\cos 59^\circ=0.515038\Rightarrow\cos^{4}59^\circ=0.070365$

5. 5

   合併並四捨五入。

   $\eta_\theta=0.5(0.539837+0.070365)=0.5(0.610202)=0.305101$

   $\boxed{\eta_\theta=0.305}$

6. 6

   用兩個參考角做合理性檢查。 在 $0^\circ$（或 $90^\circ$）時因子是 $0.5$，在 $45^\circ$ 時是 $0.5\cos^4 45^\circ\times 2=0.5\times 0.25\times 2=0.25$，也就是最小值。答案 $0.305$ 落在這兩個界限之間；就效果而言它離 $45^\circ$ 比離 $0^\circ$ 近得多，所以正確地靠近下界。