一輛汽車在直線路段的前半段路程以定速 50 公里每小時行駛，後半段路程以定速 60 公里每小時行駛。求全程的平均速率。

Step-by-step solution

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   從定義出發，不要靠直覺。 平均速率永遠是

   $v_{\text{avg}}=\frac{\text{total distance}}{\text{total time}}$

   它不是兩個速率的平均。把 $50$ 和 $60$ 平均成 $55$，暗中假設了車子在兩種速率上花掉一樣多的時間；但這裡是走一樣多的路程，而慢的那半段花的時間更久，會把平均值往下拉。

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   給路程取個名字，好讓它被消掉。 設每半段長 $d$，總路程為 $2d$。每半段的時間是路程除以速率：

   $t_1=\frac{d}{50},\qquad t_2=\frac{d}{60}$

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   通分後把兩段時間相加。

   $t_1+t_2=\frac{d}{50}+\frac{d}{60}=d\left(\frac{6}{300}+\frac{5}{300}\right)=\frac{11d}{300}$

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   用總路程除以總時間。

   $v_{\text{avg}}=\frac{2d}{\dfrac{11d}{300}}=2d\cdot\frac{300}{11d}=\frac{600}{11}\approx54.5\ \text{km/h}$

   未知的 $d$ 被消掉了，這就是為什麼答案跟路有多長無關。

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   看出一般公式。 用符號重跑一次代數，得到的正是兩速率的調和平均數：

   $v_{\text{avg}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}=\frac{2(50)(60)}{50+60}=\frac{6000}{110}=54.\overline{54}\ \text{km/h}$

   除非兩速率相等，調和平均數永遠小於算術平均數，所以答案略低於 $55$ 就是內建的合理性檢查。

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   代具體數字試一次。 取每半段為 $300\ \text{km}$：前半段花 $6$ 小時、後半段花 $5$ 小時，總共 $600\ \text{km}$ 走 $11$ 小時，得 $600/11\approx54.5\ \text{km/h}$ —— 與公式完全一致。