解 (1 + x) 的 20 次方 = 1.1207。

Step-by-step solution

1. 1

   先認出結構。 這是一條複合成長方程式：$1.1207$ 是在 $20$ 個相等期間裡累積出來的總成長因子，而 $x$ 是每一期的成長率。由於指數是偶數，實數的 $20$ 次方根要取正的那個（負的底會讓 $1+x<0$，作為成長因子沒有意義）。

2. 2

   用開方把次方解掉。 兩邊同取 $\tfrac{1}{20}$ 次方得 $1+x = 1.1207^{1/20} = \sqrt[20]{1.1207}.$

3. 3

   用對數把這個根算出來。 $\ln 1.1207 = 0.11395349$，所以 $\tfrac{1}{20}\ln 1.1207 = 0.00569767$，而 $1+x = e^{0.00569767} = 1.00571394.$ 走對數這條路，可以避開反覆開平方帶來的捨入漂移。

4. 4

   減 1 把利率孤立出來。 $x = 1.00571394 - 1 = 0.00571394 \approx 0.5714\%\ \text{每期}.$

5. 5

   用正向複利驗證。 $1.00571394^{20} = 1.120700$，把右邊還原到小數點後六位，可見這個根是對的。

6. 6

   了解線性估計為何接近卻不相等。 把總成長平均分攤會猜成 $\tfrac{0.1207}{20}=0.60\%$；真正的利率 $0.5714\%$ 比較小，因為有一部分工作是複利做掉的。在 $20$ 期的情形下，這個差距大約是利率本身的 $5\%$。