解 (1 + x) 的 15 次方 = 1.0306。

Step-by-step solution

1. 1

   擺出反運算。 未知數關在 $15$ 次方裡，所以把兩邊都取倒數的指數：$1+x = 1.0306^{1/15} = \sqrt[15]{1.0306}.$ 奇數次方根的實數值唯一，所以這裡沒有正負號的疑慮。

2. 2

   用對數，而不是反覆開方。 $\ln 1.0306 = 0.03014116$。再除以 $15$：$\tfrac{0.03014116}{15} = 0.00200941$。

3. 3

   再取指數回去。 $1+x = e^{0.00200941} = 1.00201143.$ 注意當 $t$ 很小時 $e^{t}\approx 1+t$，這就是為什麼指數 $0.00200941$ 和結果的小數部分 $0.00201143$ 看起來幾乎一樣 —— 它們要到第三位有效數字才分得出來。

4. 4

   減 1 得到利率。 $x = 1.00201143 - 1 = 0.00201143 \approx 0.2011\%\ \text{每期}.$

5. 5

   用正向複利檢驗。 $1.00201143^{15} = 1.030600$，恰好就是題目給的因子。

6. 6

   位數要留夠。 把這個根四捨五入成 $1.0020$ 會得到 $0.20\%$，複利 $15$ 次之後只有 $1.030424$ —— 成長因子在小數第四位就已經對不上了。遇到小利率又多期數，過程中至少要保留八位有效數字，最後才做四捨五入。