米亞 21 歲起每季存 700 元到年利率 7.2%、按季複利的帳戶。20 年後她自己存了多少？利息又是多少？

Step-by-step solution

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   把年利率換成每季利率，並數出期數。 按季複利代表一年有四期：

   $i = \frac{0.072}{4} = 0.018, \qquad n = 4 \times 20 = 80$

   這裡的利率是精確值 —— 沒有循環小數 —— 少了一個四捨五入誤差的來源。

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   先算米亞自己投入了多少。 這部分完全用不到利息：就是每期金額乘上期數。

   $700 \times 80 = \$56{,}000$

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   算出累積因子。

   $(1.018)^{80} = 4.16698791$

   若改用 $4.158880$ —— 錯在小數第三位 —— 最終餘額會少算超過 \300$。

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   算出終值。

   $FV = 700 \cdot \frac{(1.018)^{80} - 1}{0.018} = 700 \times \frac{3.16698791}{0.018} = 700 \times 175.943773 = \$123{,}160.64$

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   相減把利息分離出來。

   $123160.64 - 56000 = \$67{,}160.64$

   利息佔最終餘額的 $54.5\%$ —— 在 $7.2\%$、為期 $20$ 年的情形下，複利的貢獻比存款人自己還多。

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   用粗略的上下界交叉檢查。 如果每一元都投資滿 $20$ 年，餘額會是 56000 \times 4.16699 = \233{,}351$；如果完全沒有利息，就只有$$56{,}000$。算出來的$$123{,}160.64$ 落在兩者之間，與「平均投資期間大約是全期的一半」相符。