詹姆士每月固定存一筆錢到年金帳戶，希望在年利率 3.8%、按月複利的條件下，17 年後累積到 85,000 元的終值。他最終自己存了多少？其中又有多少是利息？

Step-by-step solution

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   列出普通年金的終值公式。 存款發生在每一期的期末，所以

   $FV = PMT \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i}$

   其中 $i = \tfrac{0.038}{12} = 0.0031666667$（月利率），$n = 17 \times 12 = 204$（存款的次數）。

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   仔細算出累積因子。 這一步決定了後面所有結果的精度：

   $(1.0031666667)^{204} = 1.90594762$

   在這裡只保留四位小數（例如 $1.9064$），最後的存款總額就會偏掉數十元，這正是題目要求中間計算至少保留六位小數的原因。

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   解出每月的存款金額。

   $PMT = FV \cdot \frac{i}{(1+i)^n - 1} = 85000 \times \frac{0.0031666667}{0.90594762} = \$297.11$

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   把存款加總。 詹姆士總共存了 $204$ 筆 \297.11$：

   $297.11 \times 204 = \$60{,}610.44$

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   用相減求出利息。 帳戶裡凡不是詹姆士自己存進去的，都是利息：

   $85000 - 60610.44 = \$24{,}389.56$

   所以最終餘額大約有 $28.7\%$ 來自複利。

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   再正向驗算一次。 每月 \297.11$、以$0.0031666667$的月利率滾$204$個月：$297.11 \times \tfrac{0.90594762}{0.0031666667} = 297.11 \times 286.08872 = $84{,}999.82$—— 精確的$PMT$是$297.110631$，所以每期少算$0.00063$，最後就短少約$0.18$。