一筆 20 年期貸款總共付了 5,800 元。若利率為 6.6%、按月複利，本金是多少？

Step-by-step solution

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   挑出把「付款總額」和「本金」連起來的公式。 一筆整筆金額以固定的每期利率成長，遵守複利定律

   $A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$

   除了 $P$ 之外全部已知，所以這是一條單未知數的方程式 —— 不需要年金公式，因為題目講的是一次付清，不是一連串的付款。

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   把標示的年利率換成每期利率與期數。 取 $r=0.066$、每年 $n=12$ 個複利期，

   $i=\frac{0.066}{12}=0.0055,\qquad N=nt=12\times 20=240$

   那個 $6.6\%$ 是名目年利率，所以必須先除以 $12$，才能拿來當作次方的底數。

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   小心地算出成長因子 $(1.0055)^{240}$。 走對數這條路可以讓每一步都可以查核：

   $240\ln(1.0055)=240\times 0.00548492=1.3163808$
   $e^{1.3163808}=3.7299068$

   也就是說這筆錢在 240 個月裡放大成 $3.7299068$ 倍。常見的失誤是把這個因子寫成 $3.6521$；那個值根本是錯的，會把最後的本金往上拉大約 \33$。

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   把最終金額除以成長因子。 把 $A=P(1+i)^N$ 移項得

   $P=\frac{A}{(1+i)^N}=\frac{5800}{3.7299068}=1554.9986$

   四捨五入到分，本金是 \1{,}555.00$。

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   再把 $1{,}555.00$ 往前滾一次當作檢驗。 乘回去，

   $1555.00\times 3.7299068=5800.00$

   正好重現題目給的總額，可見折現的方向沒有做反。相對地，若用錯誤的因子 $3.6521$ 會得到 5800/3.6521=\1{,}588.13$，再拿真正的因子讓它成長則是$1588.13\times 3.7299068=$5{,}923.58$—— 而不是$$5{,}800$，這就是不必問別人就能自己抓出錯誤的方法。