解 120r = 10.1(1 − 1/(1 + r)¹²)，求 r。這是一筆 120 的貸款以 12 期、每期 10.1 償還時的利率。

Step-by-step solution

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   認出這是年金現值方程式。 兩邊同除以 $r$ 就還原成標準形式

   $120=10.1\cdot\frac{1-(1+r)^{-12}}{r},$

   也就是本金 $=$ 每期付款 $\times$ 年金因子，其中 $n=12$。看出代數背後的財務意義，馬上就多了一項純代數給不了的合理性檢查。

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   動手算之前先估一下答案。 還款總額是 $12\times10.1=121.20$，而本金是 $120$，所以借款人在十二期裡總共只付了 $1.20$ 的利息 —— 約當本金的 $1\%$，還分散在整整一年的各期上。因此每期利率必定只有 $1\%$ 的一個小零頭，不可能接近 $1\%$。任何靠近 $0.9\%$ 的答案一眼就能排除：取 $r=0.00893$ 時，年金因子只把這筆貸款折算成 $114.45$，而不是 $120$。

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   把問題轉成求根。 定義

   $f(r)=120r-10.1\left(1-(1+r)^{-12}\right).$

   注意 $f(0)=0$ 是個平凡根 —— 利率為零時兩邊都消失 —— 所以有意義的是另一個變號處。代入求值：$f(0.001)=-0.000416$、$f(0.005)=+0.013244$，可見有一個根落在 $(0.001,0.005)$ 之中。

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   用二分法逼近。 把那個區間反覆對半分下去，得到

   $r=0.0015341499\ldots\approx0.0015341,$

   也就是每期 $0.15341\%$。在 $(-0.5,1)$ 上整個掃一遍找不到其他變號處，所以這是唯一在經濟上有意義的解。

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   用年金因子驗算。 取 $r=0.0015341499$，

   $\frac{1-(1+r)^{-12}}{r}=11.8811881,\qquad 10.1\times11.8811881=120.000000 ✓,$

   而且確實有 $\frac{120}{10.1}=11.8811881$ ✓。若每一期是一個月，名目年利率就是 $12r\approx1.84\%$，有效年利率則是 $(1+r)^{12}-1\approx1.857\%$。