每月定額存入一筆錢的期末年金，年利率 3.8%、每月複利，目標是 17 年後終值達到 $85,000。每月要存多少？總共存入多少、利息又是多少？

Step-by-step solution

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   先列出期末年金的終值公式。 存款發生在每期期末，所以

   $FV = PMT \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i}$

   其中 $i$ 是每期利率、$n$ 是存款期數。

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   把年利率換成月利率，並數清期數。 每月複利，所以

   $i = \frac{0.038}{12} \approx 0.0031666667, \qquad n = 17 \times 12 = 204$

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   把公式反解成 $PMT$。 移項後，

   $PMT = FV \cdot \frac{i}{(1+i)^n - 1} = 85000 \cdot \frac{0.0031666667}{(1.0031666667)^{204} - 1}$

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   算出成長因子。 $(1.0031666667)^{204} \approx 1.905948$，所以分母是 $0.905948$，得

   $PMT \approx 85000 \cdot \frac{0.0031666667}{0.905948} \approx 297.11$

   每月存款約為 \297.11$。

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   把所有存款加總。 $204$ 個月共

   $297.110626 \times 204 = 60{,}610.57$

   注意這裡用的是未四捨五入的 $PMT$。如果實際存款金額被捨到分位，則 \297.11 \times 204 = $60{,}610.44$，最後餘額會比$$85{,}000$ 少幾分錢。

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   相減得到利息。 帳戶最後達到 \85{,}000$，所以利息就是「不是自己存進去」的那部分：

   $85000 - 60610.57 = 24{,}389.43$