凱文每月固定存一筆錢到年金帳戶，希望在年利率 3.8%、按月複利的條件下，16 年後累積到 75,000 元的終值。他最終自己存了多少？其中又有多少是利息？

Step-by-step solution

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   先定出每期利率與期數。 按月複利就是把年利率切成十二個相等的期：

   $i = \frac{0.038}{12} = 0.0031666667, \qquad n = 16 \times 12 = 192$

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   寫出終值公式，再移項解出 PMT。 由 $FV = PMT \cdot \dfrac{(1+i)^n - 1}{i}$，

   $PMT = FV \cdot \frac{i}{(1+i)^n - 1}$

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   用完整精度算出累積因子。

   $(1.0031666667)^{192} = 1.83499060$

   若取成 $1.835571$ 這種被截斷的值，分母會被灌大，算出 PMT \approx \284.24$—— 大約低了$20$分，累積下來會讓存款總額差上$$40$。

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   算出每月的存款金額。

   $PMT = 75000 \times \frac{0.0031666667}{0.83499060} = \$284.43$

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   把存款加總後相減。

   $284.43 \times 192 = \$54{,}610.56, \qquad 75000 - 54610.56 = \$20{,}389.44$

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   **和 17 年、\85{,}000$的那一題比一比。** 那裡每月$$297.11$、共$204$個月，產生了$$24{,}389.56$的利息 —— 佔比更高，因為多出來的那一年複利，比多出來的本金更有貢獻。這一題利息約佔餘額的$27.2%$，而那一題是$28.7%$。