棱柱與長方體

立方體

$V = s^3$

邊長的三次方。邊長為 $s$ 的立方體可由 $s^3$ 個單位立方體堆成——單位正方形論證的三維版本。

長方體

$V = l \cdot w \cdot h$

長 × 寬 × 高。底面積 $l w$ ，疊 $h$ 層即得 $lwh$ 。

一般棱柱

$V = A_{\text{base}} \cdot h$

底面積 × 高。由 Cavalieri 原理，截面與高相同的稜柱體積相等——三稜柱、六稜柱、斜稜柱都用這一條。

錐體與圓台

角錐（一般）

$V = \tfrac{1}{3} A_{\text{base}} \cdot h$

同底等高稜柱體積的三分之一。"三分之一"來自把 $A_{\text{base}}\bigl(\tfrac{z}{h}\bigr)^2$ 從 0 積分到 $h$ ——截面隨高度線性縮小。

圓錐

$V = \tfrac{1}{3} \pi r^2 h$

與稜錐同樣的"三分之一"規則，底面為 $\pi r^2$ 的圓。三個等底等高的圓錐恰好填滿一個圓柱。

圓台

$V = \tfrac{\pi h}{3}\bigl(R^2 + R r + r^2\bigr)$

上下兩個平行圓面，半徑分別為 $R$ （底）和 $r$ （頂），高 $h$ 。把大圓錐減去小圓錐即可推導， $Rr$ 項來自立方差公式。

圓柱

$V = \pi r^2 h$

一般稜柱的特例：圓形底 $\pi r^2$ 疊到高度 $h$ 。由 Cavalieri 原理，斜圓柱也用同一公式。

空心圓柱（管）

$V = \pi (R^2 - r^2) h$

外圓柱體積減內圓柱體積——把圓環的相減技巧推廣到三維。

球與橢球

球

$V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$

著名的 $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ 。阿基米德結論：球體積恰好是外接最小圓柱的 $\tfrac{2}{3}$ 。

半球

$V = \tfrac{2}{3}\pi r^3$

球體的一半，恰好是 $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ 的一半。圓頂、碗以及積分計算時常用。

橢球

$V = \tfrac{4}{3}\pi a b c$

三個半軸 $a, b, c$ 。當 $a = b = c = r$ 時退化為球 $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ ——球是橢球的特例。

圓環面（甜甜圈）

$V = 2\pi^2 R r^2$

主半徑 $R$ （中心到管心），副半徑 $r$ （管）。Pappus 定理：面積 $\pi r^2$ 沿周長 $2\pi R$ 的圓掃一圈。

體積 Formulas