四邊形——面積公式

正方形

$A = s^2$

邊長的平方。正方形是長寬相等的矩形，所以 $A = l\cdot w$ 化簡為 $s^2$ 。

矩形

$A = l \cdot w$

長 × 寬。單位正方形鋪砌論證：邊長為整數 $l\times w$ 的矩形恰好可以鋪滿 $lw$ 個單位正方形。

平行四邊形

$A = b \cdot h$

底 × 垂直高——不是斜邊。把一端的三角形切下來挪到另一端，平行四邊形就變成矩形。

菱形

$A = \tfrac{1}{2} d_1 d_2$

兩條對角線乘積的一半。對角線互相垂直平分，把菱形切成四個全等的直角三角形。

梯形

$A = \tfrac{1}{2}(a + b)\,h$

兩條平行邊 $a,b$ 的平均，再乘以高 $h$ 。把兩個梯形頭尾相接，就得到底為 $a+b$ 的平行四邊形。

風箏形

$A = \tfrac{1}{2} d_1 d_2$

與菱形相同的對角線公式——風箏形是更一般的圖形，對角線仍然相互垂直。

三角形——按已知條件選擇

底與高

$A = \tfrac{1}{2} b h$

底 × 高 ÷ 2，對任意三角形都成立。兩個相同的三角形拼成底為 $b$ 、高為 $h$ 的平行四邊形。

海龍公式（三邊）

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\ s = \tfrac{a+b+c}{2}$

只知道三條邊、沒給高時用。 $s$ 是半周長。

兩邊及夾角 (SAS)

$A = \tfrac{1}{2} a b \sin C$

從第三個頂點作高，高為 $a\sin C$ ，代回標準的 $\tfrac{1}{2}\cdot\text{底}\cdot\text{高}$ 。

等邊三角形

$A = \tfrac{\sqrt{3}}{4} a^2$

SAS 公式當 $a=b$ 、 $C = 60^{\circ}$ 時的特例； $\sin 60^{\circ} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ 化出常數 $\tfrac{\sqrt{3}}{4}$ 。

圓與曲線圖形

圓

$A = \pi r^2$

$\pi r^2$ 。把圓周長 $2\pi r$ 從 0 積分到 $r$ （洋蔥圈法）即得。

扇形

$A = \tfrac{1}{2} r^2 \theta$

$\theta$ 用弧度。等於整圓面積 $\pi r^2$ 的 $\theta / (2\pi)$ 倍。

圓環

$A = \pi (R^2 - r^2)$

外圓面積減內圓面積——中間空洞通過相減處理。

橢圓

$A = \pi a b$

$\pi$ × 長半軸 $a$ × 短半軸 $b$ 。當 $a = b = r$ 即退化為圓面積 $\pi r^2$ 。

正多邊形與座標法

正 n 邊形

$A = \tfrac{1}{2} P a$

$P$ 是周長， $a$ 是邊心距（中心到邊的垂直距離）。把多邊形拆成 $n$ 個全等三角形即得。

正六邊形

$A = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2$

正六邊形正好是 6 個邊長為 $a$ 的等邊三角形，所以 $6 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2$ 。

座標法（鞋帶公式）

$A = \tfrac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\right|$

按順序代入頂點座標 $(x_i, y_i)$ ，最後一項繞回首項（ $x_{n+1}=x_1$ ）。任何簡單多邊形都適用，不需要先三角剖分。

面積 Formulas